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#デジタル信号の周波数解析 3 「#離散時間フーリエ変換」(#DTFT)… ↑ 実は既に #デジタル信号とサンプリング のタグの中で多用してある. #デルタ列 のかかった #アナログ信号 y_d=f(t)・{ Σ{k=-∞→∞} δ(t-kτ) } を 普通にt軸上で #フーリエ変換 した ℱ[ y_d ] が f(t) のDTFT.
#デジタル信号とサンプリング 42 ↑ このタグの復習 ①#AD変換: #アナログ信号 から #デジタル信号 を得る方法. なぜ #インパルス列 が必要か ②#DA変換: デジタル信号からアナログ信号を復元する方法. #サンプリング定理,#サンプリング周波数 ①②両方で 変換式をすぐ思い出せるように.
#デジタル信号とサンプリング 37 y(t)=y_d(t) * sinc( ω_0・t ) (ω_0=π/τ) を変形し y(t)=Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc(ω_0・t - kπ) ★ ★の意味: 「#サンプリング 値を #sinc で重みづけしながら総和をとれば, サンプリングしなかった いかなる時刻の原信号の値も復元できる!」
#デジタル信号とサンプリング 34 y(t) = y_d(t) * sinc( ω_0・t ) この式に,さらに ・#デジタル信号 の定義 y_d(t) = y(t){ Σ{k=-∞→∞} δ(t-kτ) } = Σ{k=-∞→∞} y(kτ)・δ(t-kτ) ・#たたみ込み の定義 f*g=∫{-∞→∞} f(t-τ) g(τ) dτ を適用するとどうなる…?
#デジタル信号とサンプリング 32 前ツイまでで y(-t) = y_d(-t) * sinc( ω_0・t ) が得られている。 ここで 両辺の t を -t に置き換えると, #sinc関数 は #偶関数 なので y(t) = y_d(t) * sinc( ω_0・t ) となる。
#デジタル信号とサンプリング 31 ℱ_ω[ rect(ω/(Ω/2)) ] = 2 ω_0・sinc(ω_0・t) を使うと #デジタル信号 の #スペクトル を ω軸上で1 #周期 切り出した式は 2πy(-t) = τ y_d(-t) * ℱ_ω[ rect(ω/(Ω/2)) ] = y_d(-t) * 2τω_0・sinc(ω_0・t) π/τ=ω_0より y(-t) = y_d(-t) * sinc(ω_0・t)
#デジタル信号とサンプリング 30 ℱ_ω[ (1/2)rect(ω / (Ω/2)) ] = (Ω/2)・(sin (Ω/2)t) / (Ω/2)t ω軸上で F(ω) の正負両方向への両幅が Ω=2π/τ の時, その片幅 Ω/2(=π/τ) を Ω/2=ω_0 とおく. ℱ_ω[ (1/2)rect(ω / (Ω/2)) ] = ω_0・(sin ω_0・t) / (ω_0・t) = ω_0・sinc( ω_0・t )
#デジタル信号とサンプリング 28 ℱ_ω[ ℱ_t[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2)) ] = ℱ_ω[ ℱ_t[y] ] 右辺=2πy(-t) 左辺(#積 を #たたみ込み に変形) = (1/2π)ℱ_ω[ ℱ_t[y_d] ] * ℱ_ω[ τ rect(ω / (Ω/2))] = (τ/2π) 2π y_d(-t) * ℱ_ω[rect(ω / (Ω/2))] = τ y_d(-t) * ℱ_ω[rect(ω / (Ω/2))]
#デジタル信号とサンプリング 23 #折り返し雑音(folding noise) #エイリアシング(aliasing) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8A%98… 異なる #連続信号 が #標本化 により区別不能になる事. 低すぎる #周波数 で #標本化 すると #高周波 が #アンダーサンプリング され #低周波 の折り返し雑音になる.
#デジタル信号とサンプリング 22 #サンプリング周波数 (sampling rate) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5… 「#サンプリング 周波数の1/2の #帯域幅 の 外側の #周波数 成分は, 復元時に #折り返し雑音 となるため, #標本化 の前に #帯域制限フィルタ により 遮断しておかなければならない。」
#デジタル信号とサンプリング 21 #標本化定理 (#サンプリング定理) sampling theorem ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%99… 「#波形 の最大 #周波数 の 2倍を超えた周波数で #標本化(#サンプリング)すれば, 完全に元の波形に再構成される。」
#デジタル信号とサンプリング 20 『信号の帯域が ω軸上で無限に広がらず, ある幅の中に #帯域制限 されている』 ↓ 下記を見ると理解しやすい. #電波 の周波数による分類 ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%BB… 無線,携帯電話,テレビ放送など毎に 利用可能な周波数帯域(バンド幅)が決まっている.
#デジタル信号とサンプリング 19 #ナイキスト周波数(Nyquist frequency) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8A… #サンプリング周波数 の1/2の #周波数. #アナログ信号 の #周波数帯域 が ナイキスト周波数(サンプリング周波数の1/2) 以下に制限されていれば #サンプリング 時に元信号の情報は失われない.