#3次元・極座標のラプラシアン導出 44 ↑P = (x，y，z) をxy平面に #射影 したものが ↑P ' = (x，y) である事を思い出そう. 「↑P ' とx軸のなす角が φ だ」 と決めたのだから， cos φ = x / | ↑P ' | = x / √(x^2＋y^2) φをx，yで表せた！ または tan φ = y / x ←こっちのがシンプル

#3次元・極座標のラプラシアン導出 37 1つ疑問。 ↑P＝( x，y，z ) を xy平面上に #射影 し ↑P '＝(x，y) を作る時， どうしてあえて 「↑Pとz軸のなす角」を θ とおき z ＝ r cosθ としたのか？ かわりに 「↑Pとxy平面のなす角」を θ ' とおき z ＝ r sin θ ' とするのはダメなのか？

#3次元・極座標のラプラシアン導出 35 ↑P＝(x，y，z) と その #射影 ↑P '＝ (x，y) の関係は r sinθ ＝ r ' ① r cosθ ＝ z ② xy平面上で ↑P ' を表わす極座標は r ' cosφ ＝ x ③ r ' sinφ ＝ y ④ ①を③④に代入すれば r sinθ cosφ ＝ x r sinθ sinφ ＝ y これと②で極座標完成！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 34 ↑P＝(x，y，z) をxy平面上に #射影(投影)した ↑P ' について… その大きさ r ' は r '＝√(x^2＋y^2) であり， xy平面上でx軸からの角度を φ(ファイ)とおけば r ' cos φ ＝ x r ' sin φ ＝ y が成り立つ. ↑ これは見慣れた #2次元 の #極座標！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 33 ベクトル ↑P＝(x，y，z) の大きさを | ↑P |＝r＝√(x^2＋y^2＋z^2) ↑P がz軸となす角をθとおけば ↑P がxy平面上になす #射影 ↑P ' の大きさは | ↑P ' |＝r '＝√(x^2＋y^2) θの定義より r sinθ＝r ' r cosθ＝z xy平面上の世界に持ち込めた！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 32 空間内の位置ベクトル ↑P ＝ ( x，y，z ) は #3次元 の量だが… これをxy平面に #射影 した #2次元 のベクトル ↑P ' ＝ ( x，y ) については 見慣れた「2次元の #極座標 変換」が 成立してほしい。 以上の要件を満たす 座標軸の取り方を考えよう。

＜#幾何学の参考書＞ 数学のかんどころ 「射影幾何学の考え方」(2013) 前書きより: 『#射影 とは #要するに #光線 によって #物体 の #影 を ある #面 に #映す こと. 射影という #考え方 を使い どのような #幾何学 が 出来上がるのか? 扱う題材は #平面幾何学 を #一般化 した物である.』

#3次元・極座標のラプラシアン導出 44 ↑P = (x，y，z) をxy平面に #射影 したものが ↑P ' = (x，y) である事を思い出そう. 「↑P ' とx軸のなす角が φ だ」 と決めたのだから， cos φ = x / | ↑P ' | = x / √(x^2＋y^2) φをx，yで表せた！ または tan φ = y / x ←こっちのがシンプル

＜#幾何学の参考書＞ 数学のかんどころ19 「射影幾何学の考え方」 (共立出版2013西山) 『#射影 を通して #幾何学 はどう“#見える”のか。 おそらく， #定理 そのものは よく知っていても， 射影という #思考 を通して 見える幾何学の #景色 は #まったく 異なったものに なるに違いない。』

#3次元・極座標のラプラシアン導出 37 1つ疑問。 ↑P＝( x，y，z ) を xy平面上に #射影 し ↑P '＝(x，y) を作る時， どうしてあえて 「↑Pとz軸のなす角」を θ とおき z ＝ r cosθ としたのか？ かわりに 「↑Pとxy平面のなす角」を θ ' とおき z ＝ r sin θ ' とするのはダメなのか？

#3次元・極座標のラプラシアン導出 35 ↑P＝(x，y，z) と その #射影 ↑P '＝ (x，y) の関係は r sinθ ＝ r ' ① r cosθ ＝ z ② xy平面上で ↑P ' を表わす極座標は r ' cosφ ＝ x ③ r ' sinφ ＝ y ④ ①を③④に代入すれば r sinθ cosφ ＝ x r sinθ sinφ ＝ y これと②で極座標完成！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 34 ↑P＝(x，y，z) をxy平面上に #射影(投影)した ↑P ' について… その大きさ r ' は r '＝√(x^2＋y^2) であり， xy平面上でx軸からの角度を φ(ファイ)とおけば r ' cos φ ＝ x r ' sin φ ＝ y が成り立つ. ↑ これは見慣れた #2次元 の #極座標！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 33 ベクトル ↑P＝(x，y，z) の大きさを | ↑P |＝r＝√(x^2＋y^2＋z^2) ↑P がz軸となす角をθとおけば ↑P がxy平面上になす #射影 ↑P ' の大きさは | ↑P ' |＝r '＝√(x^2＋y^2) θの定義より r sinθ＝r ' r cosθ＝z xy平面上の世界に持ち込めた！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 32 空間内の位置ベクトル ↑P ＝ ( x，y，z ) は #3次元 の量だが… これをxy平面に #射影 した #2次元 のベクトル ↑P ' ＝ ( x，y ) については 見慣れた「2次元の #極座標 変換」が 成立してほしい。 以上の要件を満たす 座標軸の取り方を考えよう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 44 ↑P = (x，y，z) をxy平面に #射影 したものが ↑P ' = (x，y) である事を思い出そう. 「↑P ' とx軸のなす角が φ だ」 と決めたのだから， cos φ = x / | ↑P ' | = x / √(x^2＋y^2) φをx，yで表せた！ または tan φ = y / x ←こっちのがシンプル

#3次元・極座標のラプラシアン導出 37 1つ疑問。 ↑P＝( x，y，z ) を xy平面上に #射影 し ↑P '＝(x，y) を作る時， どうしてあえて 「↑Pとz軸のなす角」を θ とおき z ＝ r cosθ としたのか？ かわりに 「↑Pとxy平面のなす角」を θ ' とおき z ＝ r sin θ ' とするのはダメなのか？

#3次元・極座標のラプラシアン導出 35 ↑P＝(x，y，z) と その #射影 ↑P '＝ (x，y) の関係は r sinθ ＝ r ' ① r cosθ ＝ z ② xy平面上で ↑P ' を表わす極座標は r ' cosφ ＝ x ③ r ' sinφ ＝ y ④ ①を③④に代入すれば r sinθ cosφ ＝ x r sinθ sinφ ＝ y これと②で極座標完成！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 34 ↑P＝(x，y，z) をxy平面上に #射影(投影)した ↑P ' について… その大きさ r ' は r '＝√(x^2＋y^2) であり， xy平面上でx軸からの角度を φ(ファイ)とおけば r ' cos φ ＝ x r ' sin φ ＝ y が成り立つ. ↑ これは見慣れた #2次元 の #極座標！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 33 ベクトル ↑P＝(x，y，z) の大きさを | ↑P |＝r＝√(x^2＋y^2＋z^2) ↑P がz軸となす角をθとおけば ↑P がxy平面上になす #射影 ↑P ' の大きさは | ↑P ' |＝r '＝√(x^2＋y^2) θの定義より r sinθ＝r ' r cosθ＝z xy平面上の世界に持ち込めた！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 32 空間内の位置ベクトル ↑P ＝ ( x，y，z ) は #3次元 の量だが… これをxy平面に #射影 した #2次元 のベクトル ↑P ' ＝ ( x，y ) については 見慣れた「2次元の #極座標 変換」が 成立してほしい。 以上の要件を満たす 座標軸の取り方を考えよう。