#3次元・極座標のラプラシアン導出 94 以上で，#ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 の #3次元 での #極座標 表示 ＝ (∂/∂r)^2 +(1 / r^2) (∂/∂θ)^2 +(1 / r^2 sin^2 θ) (∂/∂φ)^2 +(2 / r) (∂/∂r) +(cosθ / r^2 sinθ) (∂/∂θ) を導出した. 何という手間だ…

#3次元・極座標のラプラシアン導出 88 (∂/∂x)^2で使う #積の微分 続 ∂_θ (1/sinθ)∂_φ=-(cosθ/sin^2 θ)∂_φ+(1/sinθ)∂_θ ∂_φ ∂_φ cosφ ∂_r=-sinφ ∂_r+cosφ ∂_φ ∂_r ∂_φ cosφ ∂_θ=-sinφ ∂_θ+cosφ ∂_φ ∂_θ ∂_φ sinφ ∂_φ=cosφ ∂_φ+sinφ (∂_φ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 87 (∂/∂x)^2 の計算に必要な #積の微分: ∂_r (1/r) ∂_θ=－(1/r^2) ∂_θ＋(1/r) ∂_r ∂_θ ∂_r (1/r) ∂_φ=－(1/r^2) ∂_φ＋(1/r) ∂_r ∂_φ ∂_θ sinθ ∂_r=cosθ ∂_r＋sinθ ∂_θ ∂_r ∂_θ cosθ ∂_θ=－sinθ ∂_θ＋cosθ (∂_θ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 85 微分対象の関数 f を略さず明記した場合: (∂/∂r){ (1/r)･(∂/∂θ) f(r,θ,φ) } = (－1/r^2)(∂/∂θ)f + (1/r)(∂/∂r)(∂/∂θ)f 微分対象の関数 f を略し，省いた場合: (∂/∂r){ (1/r)･(∂/∂θ) } = (－1/r^2)(∂/∂θ) + (1/r)(∂/∂r)(∂/∂θ)

#3次元・極座標のラプラシアン導出 84 微分対象の関数 f(r,θ,φ) を明記し #積の微分 を使うと… (∂/∂r) { (1/r)･(∂/∂θ) f(r,θ,φ) } = { (∂/∂r)(1/r) }･(∂f/∂θ) + (1/r)･(∂/∂r)(∂f/∂θ)←この項が現れる = (－1/r^2)(∂/∂θ)f + (1/r)(∂/∂r)(∂/∂θ)f これが正しい計算！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 83 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } = { (∂/∂r) (1/r) }・(∂/∂θ) ↑ この計算は誤り. 微分対象の関数 f(r,θ,φ) を 略さず書けば… (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) f(r,θ,φ) } つまり (1/r) と (∂/∂θ) f(r,θ,φ) との積を #積の微分 で扱う必要がある.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 82 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } 【心の声】 r で #偏微分 か…。 (1/r) は r に依存する項だけど (∂/∂θ) には r という文字が使われてないから， (∂/∂θ) の部分は影響を受けず { (∂/∂r) (1/r) }・(∂/∂θ) とできるんじゃないか？※間違いです

#3次元・極座標のラプラシアン導出 81 ∂/∂x の #極座標 表示を2乗し (∂/∂x)^2 を求める際， 計算をミスりやすいポイント… それは「#積の微分」！ ここでよく間違える。 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } ＝ { (∂/∂r) (1/r) } (∂/∂θ) ＝ －(1/r^2) (∂/∂θ) この計算は間違いである！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 80 (∂/∂x)^2 = { (sinθ cosφ)(∂/∂r) +(cosθ cosφ / r)(∂/∂θ) －(sinφ / r sinθ)(∂/∂φ) }^2 ↑ 展開すると3×3=9項。 さらに各項で #積の微分 により 項数が倍に増え18項になる. それが x，y，zの3変数ぶんあるので…， 合計で18×3＝54項！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 79 ∂/∂x = (sinθ cosφ)(∂/∂r) +(cosθ cosφ / r)(∂/∂θ) －(sinφ / r sinθ)(∂/∂φ) ↑ を二乗すれば， (∂/∂x)^2 が求まる。 同じように (∂/∂y)^2　も (∂/∂z)^2　も 求めればよい。 …が，ここからの計算はしんどく かなりミスりやすい…！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 78 #直交座標 での #偏微分 ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z の３つをそれぞれ #極座標 パラメータ r，θ，φ だけで表す事ができた。 次は，これらの二乗和をとればよい。 #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2 ＋ (∂/∂y)^2 ＋ (∂/∂z)^2 の極座標表示まであと少し！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 76 #行列 形の #座標変換 と 係数行列の #直交性 は 杉浦「解析入門Ⅰ」第Ⅱ章「微分法」 §6「多変数ベクトル値函数の微分法」 p143にも掲載されている. 下記URLの #ヤコビ行列 の3行列への分解も参照. #球面座標系/座標変換 mtlnk.net/j_s%253A%252F%… .

#3次元・極座標のラプラシアン導出 75 #極座標 から #直交座標 への #座標変換 の係数 #行列: A = { { sinθ cosφ，cosθ cosφ，sinφ }， { sinθ sinφ， cosθ sinφ， cosφ }， { cosθ，　　－sinθ，　　0　　} } #直交行列 で (A^t) A = E ゆえ #逆行列 は #転置 で求まる. A^(-1) = A^t

#3次元・極座標のラプラシアン導出 74 さらにシンプルな行列として 整理して書く方法 (∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z)^T = { { sinθcosφ，cosθcosφ，sinφ }， { sinθsinφ， cosθsinφ， cosφ }， { cosθ，　　－sinθ，　 0 } }( ∂/∂r，(1/r) ∂/∂θ，(1/rsinθ) ∂/∂φ )^T

#3次元・極座標のラプラシアン導出 73 縦ベクトル同士を結ぶ変換行列として整理 (∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z)^T = { { sinθcosφ，cosθcosφ / r，sinφ / rsinθ }， { sinθsinφ， cosθsinφ / r，cosφ / rsinθ }， { cosθ，　　　 －sinθ / r，0 } }(∂/∂r，∂/∂θ，∂/∂φ)^T

#3次元・極座標のラプラシアン導出 72 1階微分が完成 ∂/∂x = (sinθcosφ)(∂/∂r) +(cosθcosφ/r)(∂/∂θ) -(sinφ/rsinθ)(∂/∂φ) ∂/∂y = (sinθsinφ)(∂/∂r) +(cosθsinφ/r)(∂/∂θ) +(cosφ/rsinθ)(∂/∂φ) ∂/∂z = (cosθ)(∂/∂r) -(sinθ/r)(∂/∂θ) +0(∂/∂φ)

#3次元・極座標のラプラシアン導出 69 前ツイまでの計算結果 ⑦ ∂r/∂z = cosθ ⑧ ∂θ/∂z = －sinθ / r ⑨ ∂φ/∂z = 0 ↑ これを，f の全微分形に代入しよう！ (∂/∂z) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂z) ⑦ + (∂f/∂θ) (∂θ/∂z) ⑧ + (∂f/∂φ) (∂φ/∂z) ⑨

#3次元・極座標のラプラシアン導出 68 ⑨ ∂φ/∂z を求めよう！ tan φ = y / x の両辺をzで偏微分してみると (∂φ/∂z)・1/(cos φ)^2　※ = (∂/∂z)(y / x) = 0 ∴ ∂φ/∂z = 0 ※公式: (d/dφ) tanφ = 1 / (cosφ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 67 ⑧ ∂θ/∂z を求めよう！ cosθ＝z・(x^2+y^2+z^2)^(－1/2) の両辺をzで偏微分 (－sinθ) ∂θ/∂z = z'・(x^2+y^2+z^2)^(－1/2) + z・(－1/2) 2z (x^2+y^2+z^2 )^(－3/2) =1/r－z^2/r^3 =(r^2－r^2 cos^2 θ)/r^3 =(sin^2 θ)/r ∴ ∂θ/∂z＝－(sinθ)/r

#3次元・極座標のラプラシアン導出 66 ⑦ ∂r/∂z を求めよう！ r = √( x^2+y^2+z^2 ) の両辺をzで偏微分すると… ∂r/∂z = (∂/∂z){ (x^2+y^2+z^2)^(1/2) } = (1/2) (2z) { (x^2+y^2+z^2)^(－1/2) } = z / √(x^2+y^2+z^2) = z / r ここで z = r cos θ より = (r cosθ) / r = cosθ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 65 (∂/∂y) も #極座標 で表せたので， 同じ方法で (∂/∂z) を極座標で表してみよう！ (∂/∂z) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂z) ⑦ + (∂f/∂θ) (∂θ/∂z) ⑧ + (∂f/∂φ) (∂φ/∂z) ⑨ この ⑦ ∂r/∂z ⑧ ∂θ/∂z ⑨ ∂φ/∂z を求めればよい。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 63 前ツイまでの計算結果 ④ ∂r/∂y = sinθ sinφ ⑤ ∂θ/∂y = cosθ sinφ / r ⑥ ∂φ/∂y = cosφ / r sinθ ↑ これを，f の全微分形に代入しよう！ (∂/∂y) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂y) ④ + (∂f/∂θ) (∂θ/∂y) ⑤ + (∂f/∂φ) (∂φ/∂y) ⑥

#3次元・極座標のラプラシアン導出 62 ⑥ ∂φ/∂y を求めよう！ tan φ = y / x の両辺をyで偏微分してみると (∂φ/∂y)・1/(cos φ)^2　※ = 1 / x = 1 / r sinθ cosφ ∴ ∂φ/∂y = cosφ / r sinθ ※公式: (d/dφ) tanφ = 1 / (cosφ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 61 ⑤ ∂θ/∂y を求めよう！ cosθ = z/r = z/√(x^2+y^2+z^2) = z (x^2+y^2+z^2)^(－1/2) の両辺をyで偏微分すると… (－sinθ)・∂θ/∂y = z・2y (－1/2) (x^2+y^2+z^2)^(－3/2) = －zy/r^3 = －(r cosθ)(r sinθ sinφ)/r^3 ∴ ∂θ/∂y = cosθ sinφ / r

#3次元・極座標のラプラシアン導出 60 ④ ∂r/∂y を求めよう！ r=√( x^2+y^2+z^2 ) の両辺をyで偏微分 ∂r/∂y = (∂/∂y){ (x^2+y^2+z^2)^(1/2) } = (1/2) (2y) { (x^2+y^2+z^2)^(－1/2) } = y / √(x^2+y^2+z^2) = y / r ここで y = r sinθ sinφ より = (r sinθ sinφ) / r = sinθ sinφ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 59 (∂/∂x) を #極座標 で表せたので， 同じ方法で (∂/∂y) を極座標で表してみよう！ (∂/∂y) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂y) ④ + (∂f/∂θ) (∂θ/∂y) ⑤ + (∂f/∂φ) (∂φ/∂y) ⑥ この ④ ∂r/∂y ⑤ ∂θ/∂y ⑥ ∂φ/∂y を求めればよい。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 58 流れを整理: 極座標を引数に持つ関数 f(r,θ,φ) を 極座標パラメータの微小量で展開(#全微分) ↓ 両辺をdxで割る ↓ 全微分の各微小量の項の重みづけ係数 ∂r/∂x，∂θ/∂x，∂φ/∂x をr，θ，φで表す ↓ ∂f/∂xがわかる ↓ ∂/∂xをr，θ，φで表せた！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 56 前ツイまでの計算結果 ① ∂r/∂x = sinθ cosφ ② ∂θ/∂x = cosφ cosθ / r ③ ∂φ/∂x = －sinφ / r sinθ ↑ これを，f の全微分形に代入しよう！ (∂/∂x) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂x) ① + (∂f/∂θ) (∂θ/∂x) ② + (∂f/∂φ) (∂φ/∂x) ③

#3次元・極座標のラプラシアン導出 55 ③ ∂φ/∂x を求めよう！ tan φ = y / x の両辺をxで偏微分 (∂φ/∂x)・1/(cos φ)^2　※ =－y/x^2 =－(r sinθ sinφ) / (r sinθ cosφ)^2 =－sinφ / {r sinθ (cos φ)^2} ∴ ∂φ/∂x = －sinφ / r sinθ ※公式 (d/dφ) tanφ = 1/(cosφ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 54 ② ∂θ/∂x を求めよう！ cosθ = z/r = z/√(x^2+y^2+z^2) = z (x^2+y^2+z^2)^(－1/2) の両辺をxで偏微分すると… (－sinθ)・∂θ/∂x = z・2x (－1/2) (x^2+y^2+z^2)^(－3/2) = －xz/r^3 = －(r sinθ cosφ)(r cosθ)/r^3 ∴ ∂θ/∂x = cosφ cosθ / r

#3次元・極座標のラプラシアン導出 53 ① ∂r/∂x を求めよう！ r=√( x^2+y^2+z^2 ) の両辺をxで偏微分 ∂r/∂x = (∂/∂x){ (x^2+y^2+z^2)^(1/2) } = (1/2) (2x) { (x^2+y^2+z^2)^(－1/2) } = x / √(x^2+y^2+z^2) = x / r ここで x = r sinθ cosφ より = (r sinθ cosφ) / r = sinθ cosφ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 52 (∂/∂x) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂x) ① + (∂f/∂θ) (∂θ/∂x) ② + (∂f/∂φ) (∂φ/∂x) ③ この ① ∂r/∂x ② ∂θ/∂x ③ ∂φ/∂x は， 前述の 「r，θ，φをx，y，zで表す式」から求まる！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 51 f(r,θ,φ) の #全微分 df(r,θ,φ) = (∂f/∂r)dr+(∂f/∂θ)dθ+(∂f/∂φ)dφ の両辺をdxで割ると… (∂/∂x) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂x) + (∂f/∂θ) (∂θ/∂x) + (∂f/∂φ) (∂φ/∂x) 右辺でfが絡まない項は 計算を進める事が可能！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 50 ∂/∂x ＝ A(∂/∂r)＋B(∂/∂θ)＋C(∂/∂φ) みたいな式を作るには f(r,θ,φ) を #全微分 した式を dxで割ればよいのでは？ f を極座標パラメータに関する 1次の微小量で展開 すなわち全微分すると df(r,θ,φ)＝(∂f/∂r)dr＋(∂f/∂θ)dθ＋(∂f/∂φ)dφ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 49 ∂/∂xを「r，θ，φ に関する微分」に 書き直す。 とは，つまり… ∂/∂x ＝ A (∂/∂r)＋B (∂/∂θ)＋C (∂/∂φ) ↑ A，B，C は r，θ，φ の 何かの関数や定数 …みたいな形にできればよい，という事。 そのために役立つのが #全微分。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 48 { (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 } f(r,θ,φ) の { } 中の 「x，y，z に関する微分」を 「r，θ，φ に関する微分」に 書き直すとは… たとえば ∂/∂xを「r，θ，φ に関する微分」 で書き直せば (∂/∂x)^2 が求まり ∂/∂yや∂/∂zについても同様。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 47 極座標が引数な関数 f(r,θ,φ)に 直交座標系で #ラプラシアン をかけた ∆f(r,θ,φ) = { (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 } f(r,θ,φ) を計算するには， { } の中の 「x，y，z に関する微分」を 「r，θ，φ に関する微分」に 書き直す必要がある.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 46 「#極座標 の変数 r，θ，φ を使い #直交座標 の変数 x，y，z を 各々個別に表わす」 ↑ これはもうできた。 次にやりたいのが… ↓ 「極座標の変数 r，θ，φ を使い， 直交座標の変数【による #偏微分】 ∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z を 各々個別に表わす」

#3次元・極座標のラプラシアン導出 45 r，θ，φだけを使って x，y，zを各々個別に表わす ① x = r sinθ cosφ ② y = r sinθ sinφ ③ z = r cosθ x，y，zだけを使って r，θ，φを各々個別に表わす: ④ r = √(x^2+y^2+z^2) ⑤ cosθ = z / √(x^2+y^2+z^2) ⑥ tanφ = y/x 相互変換式が完成.