#シュレディンガー方程式の導出 42 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] －e^2 / 4πε_0 r } X ＝ E X ↑ この左辺は ① x，y，zで書かれた #直交座標 と ② r で書かれた #極座標 が混在しているため このままでは #微分方程式 を解けない. ①②どちらに統一するか？

#3次元・極座標のラプラシアン導出 96 #極座標 の #ラプラシアン の計算で 感想として 「めっちゃ楽しかった！」 「こういう計算を一日中，ずっとしていたい！」 「２４時間やっていられる！」 と思う人が もしいたら…， その人は，#微分幾何学 が向いている。 才能があるのだろう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 94 以上で，#ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 の #3次元 での #極座標 表示 ＝ (∂/∂r)^2 +(1 / r^2) (∂/∂θ)^2 +(1 / r^2 sin^2 θ) (∂/∂φ)^2 +(2 / r) (∂/∂r) +(cosθ / r^2 sinθ) (∂/∂θ) を導出した. 何という手間だ…

#3次元・極座標のラプラシアン導出 81 ∂/∂x の #極座標 表示を2乗し (∂/∂x)^2 を求める際， 計算をミスりやすいポイント… それは「#積の微分」！ ここでよく間違える。 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } ＝ { (∂/∂r) (1/r) } (∂/∂θ) ＝ －(1/r^2) (∂/∂θ) この計算は間違いである！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 78 #直交座標 での #偏微分 ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z の３つをそれぞれ #極座標 パラメータ r，θ，φ だけで表す事ができた。 次は，これらの二乗和をとればよい。 #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2 ＋ (∂/∂y)^2 ＋ (∂/∂z)^2 の極座標表示まであと少し！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 75 #極座標 から #直交座標 への #座標変換 の係数 #行列: A = { { sinθ cosφ，cosθ cosφ，sinφ }， { sinθ sinφ， cosθ sinφ， cosφ }， { cosθ，　　－sinθ，　　0　　} } #直交行列 で (A^t) A = E ゆえ #逆行列 は #転置 で求まる. A^(-1) = A^t

#3次元・極座標のラプラシアン導出 65 (∂/∂y) も #極座標 で表せたので， 同じ方法で (∂/∂z) を極座標で表してみよう！ (∂/∂z) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂z) ⑦ + (∂f/∂θ) (∂θ/∂z) ⑧ + (∂f/∂φ) (∂φ/∂z) ⑨ この ⑦ ∂r/∂z ⑧ ∂θ/∂z ⑨ ∂φ/∂z を求めればよい。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 59 (∂/∂x) を #極座標 で表せたので， 同じ方法で (∂/∂y) を極座標で表してみよう！ (∂/∂y) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂y) ④ + (∂f/∂θ) (∂θ/∂y) ⑤ + (∂f/∂φ) (∂φ/∂y) ⑥ この ④ ∂r/∂y ⑤ ∂θ/∂y ⑥ ∂φ/∂y を求めればよい。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 46 「#極座標 の変数 r，θ，φ を使い #直交座標 の変数 x，y，z を 各々個別に表わす」 ↑ これはもうできた。 次にやりたいのが… ↓ 「極座標の変数 r，θ，φ を使い， 直交座標の変数【による #偏微分】 ∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z を 各々個別に表わす」

#3次元・極座標のラプラシアン導出 41 #3次元 の #極座標 x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ ↑ これらの式は r，θ，φ だけを使って x，y，z をそれぞれ個別に表わす というもの. 逆は可能だろうか？ つまり x，y，z だけを使って r，θ，φ をそれぞれ個別に表わす という式は？

#3次元・極座標のラプラシアン導出 40 3次元 #極座標 (r，θ，φ) を設定した時 地球上で #緯度･#経度 はどうなる？ 地球を球とすれば… ・rは一定 ・z軸は球の中心から #北極 へ正の向き。 ・z軸から角度θ=90°の地点の集合が #赤道(緯度=0°) ・ロンドンを通るグリニッジ子午線がφ(経度)=0°

#3次元・極座標のラプラシアン導出 34 ↑P＝(x，y，z) をxy平面上に #射影(投影)した ↑P ' について… その大きさ r ' は r '＝√(x^2＋y^2) であり， xy平面上でx軸からの角度を φ(ファイ)とおけば r ' cos φ ＝ x r ' sin φ ＝ y が成り立つ. ↑ これは見慣れた #2次元 の #極座標！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 32 空間内の位置ベクトル ↑P ＝ ( x，y，z ) は #3次元 の量だが… これをxy平面に #射影 した #2次元 のベクトル ↑P ' ＝ ( x，y ) については 見慣れた「2次元の #極座標 変換」が 成立してほしい。 以上の要件を満たす 座標軸の取り方を考えよう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 31 「3次元の #極座標 を恐れる必要はない！ 単に，2次元の極座標の 自然な拡張に過ぎない！」 ↑ この発言が可能であるようにしたい。 そのために， 【3次元の極座標系の中に 2次元の極座標系が 自然に内包される】 ように変数をセッティングしたい。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 29 2次元平面で (x，y) ⇔ (r，θ) の相互書き換えは これで大丈夫。 つぎは3次元空間だが #極座標 の前に まず #直交座標 の軸の取り方を押さえよう。 3次元でx軸，y軸，z軸の並び方を どう記憶しているか？ ↑ これがあやふやだと 極座標も作れない。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 26 ▶2次元平面で #極座標 の取り方 (x，y) ⇔ (r，θ) x ＝ r cosθ y ＝ r sinθ この変換は，高校数学で さんざんやりましたね。 その逆変換は r ＝ √(x^2＋y^2) θ ＝ arctan(y/x) と書かれることが多いけど… でも，実用上はこれではダメ。 なぜか？

#3次元・極座標のラプラシアン導出 25 #極座標 の #ラプラシアン は 導出が大変で #座標変換 の知識が必要。 なので，まず 下記がスラスラできるようにしよう. 2次元平面での極座標の取り方 (x，y) ⇔ (r，θ) 3次元空間での極座標の取り方 (x，y，z) ⇔ (r，θ，φ) ※パッと出てきますか?

#3次元・極座標のラプラシアン導出 24 ここまでで #極座標 の #ラプラシアン について… ・各種の物理，化学，数学の参考書で どう導出しているか概観した. ・その導出は 解析学や #座標変換 の前提知識が いろいろ必要だという事を確認した. ・Wolfram Alphaで検算する方法を 確認した.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 22 Laplacian[ f( r, theta, phi ) ] mtlnk.net/j_s%253A%252F%… Δf(r,θ,ϕ) = ( r^2 (d^2 f / dr^2) +(d^2 f / dθ^2) +csc^2 θ (d^2 f / dϕ^2) +2 r (df/dr) +cotθ (df/dθ) ) / r^2 #ラプラシアン の #極座標 表示を得た. ※ cscθ=1/sinθ cotθ=1/tanθ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 20 Wolfram Alphaで 3次元 #極座標 での #ラプラシアン を表示させるには… Laplacian[ f( r, θ, φ ) ] と入力した場合: mtlnk.net/j_s%253A%252F%… →「φ」という文字が 極座標の変数として認識されず 2次元極座標系(r, θ)での∆が計算されてしまう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 19 Wolfram Alphaで 2次元 #極座標 での #ラプラシアン を表示させるには… Laplacian[ f( r, θ ) ] wolframalpha.com/input?i=Laplac… 出力： Δ f(r,θ) = ((d^2 f(r,θ))/(dθ^2))/r^2 + (d^2 f(r,θ))/(dr^2) + ((df(r,θ))/(dr))/r r:#動径座標 θ:#方位角

#3次元・極座標のラプラシアン導出 17 #極座標 の∆の導出について， 凜ちゃんは何と述べているだろうか？ 物理学科に入学した凛ちゃんbot曰く… 「#球座標 に変換した #ラプラシアン の計算？ もう二度とゴメンだにゃ」 そう！この計算はしんどいのである！！ twitter.com/DaigakuBakegak…

#3次元・極座標のラプラシアン導出 15 前ツイまでの参考文献リストを概観し 分かることがある。 それは… ･3次元 #極座標 の，座標設定の基礎 ･#全微分 と #偏微分 ･#一般力学 における #回転運動 と #角運動量 の扱い などについて 前もって前提事項として理解が必要！ ということ。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 10 ▶文献3続 また 2次元平面での∆の #極座標 表示の発展形として 3次元極座標の設定方法を p143の例9で図示しており， 「#直交座標系 の微分」から 「#極座標系 の微分」への変換方法を #行列 表示する事によって 3次元極座標での ∆f を計算している。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 9 ▶文献3続 その 「∂/∂x と ∂/∂y を #極座標 の #偏微分 で表す方法」 を使って， 2次元平面上での #ラプラシアン ∆f ＝ f_xx ＋ f_yy ＝ g_rr ＋ (1/r) g_r ＋ (1/r^2) g_θθ を得ており， 計算の注意点も併記されている。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 8 ▶(文献3) 杉浦「解析入門Ⅰ」: 第Ⅱ章「微分法」 §6「多変数ベクトル値函数の微分法」 p136～137 2次元平面で #極座標 を定義 ↓ ∂/∂rと∂/∂θを #直交座標 の #偏微分 で表す方法を導く ↓ ∂/∂x と ∂/∂y を 極座標の偏微分で表す方法を導く

#シュレディンガー方程式の導出 43 直交座標系の #ラプラシアン ∆ ＝(∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 は， 3次元 #極座標 系(球面座標系)に書き換えると ＝(∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) である…！

#シュレディンガー方程式の導出 42 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] －e^2 / 4πε_0 r } X ＝ E X ↑ この左辺は ① x，y，zで書かれた #直交座標 と ② r で書かれた #極座標 が混在しているため このままでは #微分方程式 を解けない. ①②どちらに統一するか？

#3次元・極座標のラプラシアン導出 96 #極座標 の #ラプラシアン の計算で 感想として 「めっちゃ楽しかった！」 「こういう計算を一日中，ずっとしていたい！」 「２４時間やっていられる！」 と思う人が もしいたら…， その人は，#微分幾何学 が向いている。 才能があるのだろう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 94 以上で，#ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 の #3次元 での #極座標 表示 ＝ (∂/∂r)^2 +(1 / r^2) (∂/∂θ)^2 +(1 / r^2 sin^2 θ) (∂/∂φ)^2 +(2 / r) (∂/∂r) +(cosθ / r^2 sinθ) (∂/∂θ) を導出した. 何という手間だ…

#3次元・極座標のラプラシアン導出 81 ∂/∂x の #極座標 表示を2乗し (∂/∂x)^2 を求める際， 計算をミスりやすいポイント… それは「#積の微分」！ ここでよく間違える。 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } ＝ { (∂/∂r) (1/r) } (∂/∂θ) ＝ －(1/r^2) (∂/∂θ) この計算は間違いである！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 78 #直交座標 での #偏微分 ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z の３つをそれぞれ #極座標 パラメータ r，θ，φ だけで表す事ができた。 次は，これらの二乗和をとればよい。 #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2 ＋ (∂/∂y)^2 ＋ (∂/∂z)^2 の極座標表示まであと少し！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 75 #極座標 から #直交座標 への #座標変換 の係数 #行列: A = { { sinθ cosφ，cosθ cosφ，sinφ }， { sinθ sinφ， cosθ sinφ， cosφ }， { cosθ，　　－sinθ，　　0　　} } #直交行列 で (A^t) A = E ゆえ #逆行列 は #転置 で求まる. A^(-1) = A^t

#3次元・極座標のラプラシアン導出 65 (∂/∂y) も #極座標 で表せたので， 同じ方法で (∂/∂z) を極座標で表してみよう！ (∂/∂z) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂z) ⑦ + (∂f/∂θ) (∂θ/∂z) ⑧ + (∂f/∂φ) (∂φ/∂z) ⑨ この ⑦ ∂r/∂z ⑧ ∂θ/∂z ⑨ ∂φ/∂z を求めればよい。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 59 (∂/∂x) を #極座標 で表せたので， 同じ方法で (∂/∂y) を極座標で表してみよう！ (∂/∂y) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂y) ④ + (∂f/∂θ) (∂θ/∂y) ⑤ + (∂f/∂φ) (∂φ/∂y) ⑥ この ④ ∂r/∂y ⑤ ∂θ/∂y ⑥ ∂φ/∂y を求めればよい。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 46 「#極座標 の変数 r，θ，φ を使い #直交座標 の変数 x，y，z を 各々個別に表わす」 ↑ これはもうできた。 次にやりたいのが… ↓ 「極座標の変数 r，θ，φ を使い， 直交座標の変数【による #偏微分】 ∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z を 各々個別に表わす」

#3次元・極座標のラプラシアン導出 41 #3次元 の #極座標 x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ ↑ これらの式は r，θ，φ だけを使って x，y，z をそれぞれ個別に表わす というもの. 逆は可能だろうか？ つまり x，y，z だけを使って r，θ，φ をそれぞれ個別に表わす という式は？

#3次元・極座標のラプラシアン導出 40 3次元 #極座標 (r，θ，φ) を設定した時 地球上で #緯度･#経度 はどうなる？ 地球を球とすれば… ・rは一定 ・z軸は球の中心から #北極 へ正の向き。 ・z軸から角度θ=90°の地点の集合が #赤道(緯度=0°) ・ロンドンを通るグリニッジ子午線がφ(経度)=0°

#3次元・極座標のラプラシアン導出 34 ↑P＝(x，y，z) をxy平面上に #射影(投影)した ↑P ' について… その大きさ r ' は r '＝√(x^2＋y^2) であり， xy平面上でx軸からの角度を φ(ファイ)とおけば r ' cos φ ＝ x r ' sin φ ＝ y が成り立つ. ↑ これは見慣れた #2次元 の #極座標！