#解析力学_Hamilton形式編 49 Q. #ポアソン括弧 の #歪対称性(わいたいしょうせい)を示せ. つまり{B,A}を{A,B}で表せ A. {B,A}＝－{A,B} ※skew-symmetric 証明 {B, A} ＝Σ_i ( ∂B/∂q_i・∂A/p_i－∂A/∂q_i・∂B/p_i) ＝－Σ_i ( ∂A/∂q_i・∂B/p_i－∂B/∂q_i・∂A/p_i) ＝－{A, B}

#解析力学_Hamilton形式編 48 #ポアソン括弧 の基礎を整理: 定義 { f, g } ＝ Σ_i ( ∂f/∂q_i・∂g/∂p_i － ∂g/∂q_i・∂f/∂p_i ) #ハミルトンの正準方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p を書き直すと {p_i, H}＝－∂H/∂q_i {q_i, H}＝　∂H/∂p_iなので ∴ ṗ_i＝{p_i, H} q̇_i＝{q_i, H}

#解析力学_Hamilton形式編 47 Q. ṗ_i={p_i, H} q̇_i={q_i, H} #ハミルトン方程式 を 偏微分記号の代わりに #ポアソン括弧 を使って書き直すと 何が嬉しい？ A. ・負号が無く2式がより対称. ・「#ハミルトニアン とのポアソン括弧は時間微分に相当」というハミルトニアンの意味がより強調される.

#解析力学_Hamilton形式編 46 Q. #ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p を #ポアソン括弧 を使い書き直せ A. 前ツイまでの計算により {p_i, H}＝－∂H/∂q_i {q_i, H}＝∂H/∂p_i ∴ ṗ_i＝{p_i, H} q̇_i＝{q_i, H} ※上記は ∂X/∂t＝0 の時 Ẋ＝dX/dt＝{X, H} という結果と一致する.

#解析力学_Hamilton形式編 45 Q. #ポアソン括弧 の定義に従い { q_N, H } を計算せよ A. {q_N, H} ＝Σ_i (∂q_N/∂q_i・∂H/∂p_i－∂H/∂q_i・∂q_N/∂p_i) ① 第1項の∂q_N/∂q_iはi＝Nの時のみ1で他は0。 第2項の∂q_N/∂p_iはiによらず常に0。 ∴①＝∂q_N/∂q_N・∂H/∂p_N ＝∂H/∂p_N

#解析力学_Hamilton形式編 44 Q. #ポアソン括弧 の定義に従い { p_N, H } を計算せよ A. {p_N, H} ＝Σ_i (∂p_N/∂q_i・∂H/∂p_i－∂H/∂q_i・∂p_N/∂p_i) ① 第1項の∂p_N/∂q_iはiによらず常に0。 第2項の∂p_N/∂p_iはi＝Nの時のみ1で他は0。 ∴①＝－∂H/∂q_N・∂p_N/∂p_N ＝－∂H/∂q_N

#解析力学_Hamilton形式編 43 Q. 時間による #全微分 を #ポアソン括弧 で表す式 dX/dt = ∂X/∂t + {X, H} に X=H を代入すると #ハミルトニアン が時間に陽に依存しない場合 dH/dt = 0 ↑ 意味は? A. 「時間的に変化する外場が働いていない時， #エネルギー は保存する」という意味.

#解析力学_Hamilton形式編 42 Q. 物理量Xの時間変化を #ポアソン括弧 で表すと dX/dt = ∂X/∂t + {X, H} では #ハミルトニアン が時間に陽に依存しない場合 X=H を代入するとどうなる? A. dH/dt = ∂H/∂t + {H, H} ここで ∂H/∂t = 0 かつ {H, H} = 0 なので dH/dt = 0+0 = 0

#解析力学_Hamilton形式編 41 Q. #ポアソン括弧 の定義式は { f, g } ＝ Σ_i (∂f/∂q_i・∂g/∂p_i － ∂g/∂q_i・∂f/∂p_i) では，ある物理量Xについて { X, X } を求めるとどうなるか? A. { X, X } ＝ Σ_i ( ∂X/∂q_i・∂X/∂p_i － ∂X/∂q_i・∂X/∂p_i ) ＝0

#解析力学_Hamilton形式編 40 Q. 物理量が時間に陽に依存しない場合 ∂X/∂t＝0より Ẋ＝{X, H} ↑ これが成立しないのって どういう例外的な状況? A. 例えば 速度1[m/s]で移動するロボットアームの先端に 粒子が固定されている場合 この粒子の位置qはtに陽に依存し q＝q(t)＝tで ∂q/∂t＝1≠0

#解析力学_Hamilton形式編 39 Q. ある物理量Xの時間変化を #ポアソン括弧 で表すと dX/dt ＝ ∂X/∂t ＋ {X, H} では，物理量が時間に陽に依存しない場合 「#ハミルトニアン とポアソン括弧をとる」事は 何を意味する？ A. ∂X/∂t＝0 の時 dX/dt＝Ẋ＝{X, H} つまり「時間微分」を意味する.

#解析力学_Hamilton形式編 38 Q. 前ツイまでの準備内容を踏まえ， ある物理量Xの時間変化を #ポアソン括弧 で表せ. A. dX/dt＝ ∂X/∂t＋Σ_i ( (∂X/∂q_i) dq_i/dt＋ (∂X/∂p_i) dp_i/dt ) ＝ ∂X/∂t＋Σ_i ( (∂X/∂q_i) (∂H/∂p_i)－ (∂X/∂p_i) (∂H/∂q_i) ) ＝ ∂X/∂t ＋ {X,H}

#解析力学_Hamilton形式編 37 #ポアソン括弧 導入の前準備・その2 Q. 時間微分を ドットではなく dt を使った表記にして #ハミルトンの正準方程式 を書け. A. q̇_i ＝ dq_i / dt ＝　 ∂H / ∂p_i ṗ_i ＝ dp_i / dt ＝－ ∂H / ∂q_i

#解析力学_Hamilton形式編 36 #ポアソン括弧 を導入することの 必要性を知るため 少し前準備しましょう. Q. 時間と #正準変数 に依存する物理量 X( t, q_1, …, q_n, p_1, …, p_n ) を全微分せよ. A. 全微分の定義より dX＝ (∂X/∂t) dt ＋Σ_i (∂X/∂q_i) dq_i ＋Σ_i (∂X/∂p_i) dp_i

#解析力学_Hamilton形式編 35 Q. 位置 x と運動量 p がある系で #ポアソン括弧 { x, x } と { p, p } を求めよ. A. { x, x } ＝ (∂x/∂x)･(∂x/∂p)－(∂x/∂x)･(∂x/∂p) ＝ 1・0－1・0 ＝ 0 { p, p } ＝ (∂p/∂x)･(∂p/∂p)－(∂p/∂x)･(∂p/∂p) ＝ 0・1－0・1 ＝ 0

#解析力学_Hamilton形式編 34 Q. 位置 x と運動量 p がある系で その #ポアソン括弧 { x, p } を求めよ. A. { x, p } ＝ (∂x/∂x)･(∂p/∂p)－(∂p/∂x)･(∂x/∂p) ＝ 1・1－0・0 ＝ 1

#解析力学_Hamilton形式編 33 #ポアソン括弧 の覚え方 {f, g}＝Σ_i (∂f/∂q_i・∂g/∂p_i－∂g/∂q_i・∂f/∂p_i) ∂f　　∂g　　 ∂g　　∂f ──・── － ──・── ∂q_i　 ∂p_i　　∂q_i　∂p_i 第2項は { } の中身にあるf,gを入れ換え負号を付与. 分母の変数q,pの順序は固定.

#解析力学_Hamilton形式編 32 Q. #ハミルトン力学 における #ポアソン括弧 {f, g} の定義を述べよ A. Poisson Bracket ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D… #正準共役 量 q_1, …, q_n p_1, …, p_n #相空間 上の関数 f(q, p) g(q, p) に対し {f,g}=Σ_i (∂f/∂q_i・∂g/∂p_i－∂g/∂q_i・∂f/∂p_i)

#解析力学_Hamilton形式編 31 Q. #正準変数( q, p )を #正準変換 で 別の正準変数( Q(q,p,t,), P(q,p,t) )に写す時 おのおのどんな #正準方程式 を満たすか? A. #ハミルトニアン H(q,p,t)に対し ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p ↓ ハミルトニアン K(Q,P,t)に対し Ṗ=－∂K/∂Q Q̇=　∂K/∂P

#解析力学_Hamilton形式編 30 Q. #正準変換 とは A. 正準変換(canonical transformation) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3… #正準変数( q, p )を 新しい別の正準変数( Q(q,p,t,), P(q,p,t) )に 写す変数変換. (q, p) および (Q, P) は それぞれの #ハミルトニアン に対し #正準方程式 を満たす.

#解析力学_Hamilton形式編 29 Q. #解析力学 における #正準共役 とは A. 正準共役変数 canonical conjugate variable 「せいじゅんきょうやく」と読む. #一般化座標 q_i と #一般化運動量 p_i は 互いに #共役(正準共役)な変数である. 例: p_1 は q_1 の共役運動量 q_2 は p_2 の共役座標

#解析力学_Hamilton形式編 28 Q. #ラグランジアン よりも #ハミルトニアン のほうが 有名な気がしてしまうのですが…why? A. #量子力学 の演算子導入部で ハミルトニアンを使って数式を記述しますし ハミルトニアン(全エネルギー)に比べ ラグランジアンの物理的意味を解釈しづらいためかと

#解析力学_Hamilton形式編 27 Q. #ラグランジュ形式 と比較して #ハミルトン形式 のメリット&デメリット A. デメリット: #オイラー・ラグランジュ方程式 と比べ #ハミルトンの正準方程式 は 変数も方程式も個数が2倍. メリット: #微分方程式 の階数が1階で済み #量子力学 へ移行もしやすい.

#解析力学_Hamilton形式編 26 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p それぞれ何を求めるための物? A. ①Lを求めるのではなく q(t)を求めるための方程式. ②Hを求めるのではなく q(t)とp(t)を求めるための方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 25 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式: L(q,q̇)に対し ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトンの正準方程式: H(q,p)に対し ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p ↑ この2つで 「#微分方程式 の #階数」は異なる? A. ①q(t)に関し2階. ②q(t),p(t)に関しそれぞれ1階.

#解析力学_Hamilton形式編 24 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトンの正準方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p ↑ この2つは同じことを言っているの? A. どちらも #最小作用の原理 δS=0 と同じ意味. #作用 Sの変数として ①Lと ②Hのどちらで書くかの差.

#解析力学_Hamilton形式編 23 並べて比較 ▶#ラグランジュ形式 #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ▶#ハミルトン形式 #正準運動量 p=∂L/∂q̇ #ハミルトニアン H(q,p)=q̇p-L(q,q̇) #ハミルトンの正準方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Hamilton形式編 22 #ハミルトン形式 を整理: #正準運動量 p＝∂L/∂q̇と #ハミルトニアン H(q,p)=q̇p－L(q,q̇) を定義すると， #作用 S=∫{t1→t2}Ldt および #最小作用の原理 δS=0の式は Lの代わりに Hの式となり， #ハミルトンの正準方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p が導出される.

#解析力学_Hamilton形式編 21 Q. #ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p に従う物理量が #相空間 内で描く軌道は 決して交差しない と言えるのはなぜか A. 軌道上の1点(q,p)を指定した時 ハミルトン方程式の左辺から その1点の時間変化の方向ベクトルが 相空間内でただ一通りに定まるため

#解析力学_Hamilton形式編 20 Q. H(q,p)の #ハミルトン方程式 ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p 階数は? A. H(q,p)はq,pの一階微分を含まない. 右辺の ∂/∂qと ∂/∂pは H内のq,pの時間微分の階数を上げない. 左辺はq,pの一階微分. ∴q,pのtによる一階微分を含み q,pに関し各々一階の連立微分方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 19 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ＝－∂H/∂q ① q̇＝　∂H/∂p ② ↑ この式の①②右辺の ∂H/∂q と ∂H/∂p は 微分方程式の階数を上げない と言えるのはなぜ？ A. Hをqやpで偏微分しても Hに含まれるq, pは 時間微分の階数が増えず q, pのまま.

#解析力学_Hamilton形式編 18 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ＝－∂H/∂q ① q̇＝　∂H/∂p ② は， Hではなくq,pに関する微分方程式. ①②の左辺にある時間微分のドット すなわち (d/dt) の部分は 微分方程式の階数を生む？ A. 階数を生む. ①②の左辺はq,pに関し一階微分の量.

#解析力学_Hamilton形式編 17 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ=-∂H/∂q① q̇= ∂H/∂p② はHではなくq,pに関する微分方程式で 1)①左:tで全微分 2)①右:qで偏微分 3)②左:tで全微分 4)②右:pで偏微分 の4か所に微分がある. このうち 微分方程式の「階数」を上げるのはどれ? A. (1)と(3)

#解析力学_Hamilton形式編 16 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ＝－∂H/∂q ① q̇＝　∂H/∂p ② ↑ これって 「Hを求めるための微分方程式」じゃないの？ A. H(＝q̇p－L)はすでにわかっているとして H(q,p)をqとpで表記したものを①②に代入したら q(t)，p(t) という時間軌跡が求まる.

#解析力学_Hamilton形式編 15 Q. H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p ↑ 左辺は時間での一階微分 右辺はq,pでの一階の偏微分。 p,q,Hのどれも微分の階数は最大で一階だから ハミルトン方程式は1階の連立微分方程式？ A. ちょっと違う. 階数を考える時にはHを残さない.

#解析力学_Hamilton形式編 14 #ハミルトン方程式 絵かき歌♪ 上から下へpとq 下から上へpとq p↓　　 q↑ q↓　　 p↑ マイナス付けて ドットして ṗ -　　 q q̇ 　　　p デルエイチ デル デルエイチ デル ṗ -[∂H/∂]q q̇ [∂H/∂]p イコール結んで出来上がり! ṗ=-∂H/∂q q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Hamilton形式編 13 Q. #最小作用の原理 から #ハミルトンの正準方程式 を導出 A. 計算は下記URL参照 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80… #作用積分 Sは #ラグランジアン Lの時間積分. Lと #ハミルトニアン Hに #ルジャンドル変換 による変換関係があるので SをHで表せて Sの停留点を求める.

#解析力学_Hamilton形式編 12 Q. #ハミルトン方程式 とは A. ṗ ＝ － ∂H / ∂q q̇ ＝ 　 ∂H / ∂p #ハミルトン力学 で， #正準変数 と #ハミルトニアン の偏微分の間の関係式. ṗ の式中のマイナスを忘れずに. 別名 #正準方程式(canonical equations). #ハミルトンの正準方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 11 Q. 1次元調和振動子の運動は (p,x)の #相空間 内で楕円軌道. ↑ これは，時間tをあえて軸に取らない #ハミルトン形式 の特徴ですが そのメリットは？ A. 運動全体の様子が 有限の描画範囲内に収まれば， 運動の「構造」を定性的に把握しやすい. ※「構造」が重要！