#シュレディンガー方程式の導出 42 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] －e^2 / 4πε_0 r } X ＝ E X ↑ この左辺は ① x，y，zで書かれた #直交座標 と ② r で書かれた #極座標 が混在しているため このままでは #微分方程式 を解けない. ①②どちらに統一するか？

#シュレディンガー方程式の導出 35 ▶#電子 の運動に関する 時間非依存の #シュレディンガー方程式: {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) = E X(x) ▶#運動量 演算子: p = ±i ℏ (d/dx) ここからは，上記の式を #水素原子 の電子に当てはめ 具体的な #微分方程式 を作ってみましょう。

＜#物理数学の参考書＞ 「問題-解答形式　物理と特殊関数」 (共立出版2004平松) 前書きより: 「#物理学 で 現象を規定する #方程式 のうち #2階 の #微分方程式 で， #解 が #特殊関数 で表される 問題を多く取り上げ その性質に関するもの， それを使わなければ 解の得られない問題を…」

＜#物理数学の参考書＞ SGCライブラリ55 「超幾何関数入門」(2007木村) 前書きより引用: 『#標語的 に言えば， #微分方程式 や #公式 の #具体的 な形は 覚えている必要はなく， #自然数 N の #分割 が指定されれば， 微分方程式も それらについての様々な公式も 原則的に #復元 できる。』

＜#代数学の参考書＞ 「ガロアの夢　群論と微分方程式」 (日本評論社1968久賀) 前書きより引用: 『#線型常微分方程式 の 場合を含む ある #特殊 な #型 の #微分方程式 に対しては 十分 #成功 したものの， #Lie 自身が はじめに #想定 した形の #理論 からは #ほど遠い ように思われる。』

#シュレディンガー方程式の導出 5 問題: 水平にx軸を取り 両側の壁に水平に固定された弦がある時， 弦をつまんで持ち上げ手を離すと 弦全体はどんな運動をするか？ 位置xにおける時刻tの弦の振幅をu(x,t)とし u_xx ＝ (1 / v^2) u_tt なるuの #微分方程式 を導出せよ(下添え字は偏微分)

#ルベーグ積分と関数解析の参考書 「ルベーグ積分入門」 (内田老鶴圃1974洲之内) 前書きより: 「理工系の基礎数学として ･#微積分　に続いて ･#複素関数論 ･#微分方程式 という伝統的なコースがあるが 最近は ･#ルベーグ積分 ･#関数解析 というコースが 必須のものとなりつつある。」

リッカチの微分方程式は大丈夫ですか？しっかり学習しよう。 家庭教師はおまかせくださいませ💁！ #微分方程式 #数学 #数学教室 #プロ家庭教師

＜#代数学の参考書＞ 「ガロアの夢　群論と微分方程式」(1968久賀) 前書きより: 『#微分方程式論 における #群論 的考察の手段として作った #Lie群 の名が #Lie の名を不朽にしている. 元来の目標である #微分方程式 論の #群論的 考察には Lie自身はあまり 決定的な寄与はできなかった.』

#解析力学_Hamilton形式編 27 Q. #ラグランジュ形式 と比較して #ハミルトン形式 のメリット&デメリット A. デメリット: #オイラー・ラグランジュ方程式 と比べ #ハミルトンの正準方程式 は 変数も方程式も個数が2倍. メリット: #微分方程式 の階数が1階で済み #量子力学 へ移行もしやすい.

#解析力学_Hamilton形式編 25 Q. ①#オイラー・ラグランジュ方程式: L(q,q̇)に対し ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ②#ハミルトンの正準方程式: H(q,p)に対し ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p ↑ この2つで 「#微分方程式 の #階数」は異なる? A. ①q(t)に関し2階. ②q(t),p(t)に関しそれぞれ1階.

＜#物理数学の参考書＞ 復刊「特殊函数」(朝倉書店1967～2004小松) 前書きより: 『#特殊函数 は， #解析函数 や #微分方程式 の #理論 とその #応用 との間の #橋渡し をする立場にある. 理論の #成果 を 応用という面を通して #具現 するとともに 逆に #一般的 理論への 素材を提供する.』

微分方程式の解き方は参考書やネット上に情報が山のようにあるのに、微分方程式の立て方(作り方)について解説してある本はあまりない気がする。誰かに良いの書籍をご教示いただきたいです。 #数学 #微分方程式

#解析力学_Hamilton形式編 4 #ラグランジアン Lを変形して #ハミルトニアン Hを定義した という事は… ･Lと同じく Hの引数も #独立変数 である事 ･Hの満たす #微分方程式 も， 「なにで偏微分するか」の 微分と代入の記法が 曖昧になり混乱しやすい。という事 …に気を付けよう！

#シュレディンガー方程式の導出 44 #シュレディンガー方程式 {－(ℏ^2 / 2m)∆－e^2 / 4πε_0 r}X＝EX に ∆＝(∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) を代入すれば #極座標系 ( r，θ，φ ) の #微分方程式 になる！！

#シュレディンガー方程式の導出 42 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] －e^2 / 4πε_0 r } X ＝ E X ↑ この左辺は ① x，y，zで書かれた #直交座標 と ② r で書かれた #極座標 が混在しているため このままでは #微分方程式 を解けない. ①②どちらに統一するか？

#シュレディンガー方程式の導出 35 ▶#電子 の運動に関する 時間非依存の #シュレディンガー方程式: {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) = E X(x) ▶#運動量 演算子: p = ±i ℏ (d/dx) ここからは，上記の式を #水素原子 の電子に当てはめ 具体的な #微分方程式 を作ってみましょう。

＜#代数学の参考書＞ 「群の発見」(2001原田) 前書きより: 『#群 が生まれ 数学の各分野が #近代化 した. #微分方程式 にも #代数方程式 のように 何かの群が背後に 隠されているのではないか という疑問から #リー は #19世紀 の終わり頃 #解析群論(後に #リー群 と呼ばれる) を始めた.』

#新型コロナ・Covid19を数学から考える 2 ▶#感染症の数理モデル を学ぶ資料(2) #微分方程式 と #感染症数理疫学 ms.u-tokyo.ac.jp/~inaba/inaba_s… 2008年「数理科学」抜粋 7ページ ･#ケルマック・マッケンドリックモデル と #閾値定理 ･流行の定着: #エンデミックモデル ･流行制御の可能性

＜#解析力学の参考書＞ 「コマの幾何学―可積分系講義」(共立出版2000) 序章より 『#自転 する #コマ は #18世紀 以来研究され #微分方程式 の解が #楕円函数 あるいはKowalevskiの例では #超楕円曲線 に関連する #Abel函数 で表せる事がよく知られている. 今日ではその全景に #代数曲線…』

#シュレディンガー方程式の導出 5 問題: 水平にx軸を取り 両側の壁に水平に固定された弦がある時， 弦をつまんで持ち上げ手を離すと 弦全体はどんな運動をするか？ 位置xにおける時刻tの弦の振幅をu(x,t)とし u_xx ＝ (1 / v^2) u_tt なるuの #微分方程式 を導出せよ(下添え字は偏微分)

＜#解析力学の参考書＞ 「コマの幾何学―可積分系講義」 (共立出版2000Audin) 序文より: 『#微分方程式 を解く事を 伝統的な用語では 「#積分 する」という。 #可積分系(#積分可能系)は 19世紀半ばに J. Liouville が 初めて明確な #定義 を与えて以来， さまざまな #変遷 の歴史を経て…』

#解析力学_Lagrange形式編 77 ①#最小作用の原理 δS=0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 ①を "解く" のではなく， ①で代入・変形すると ②という #微分方程式 になる. ②を "解く" のではなく， ②で代入・変形すると #ニュートンの運動方程式 になる.

#解析力学_Lagrange形式編 76 ①#最小作用の原理 δS＝0 ②#オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 ↑ いずれも 「#微分方程式 を作るための方程式」 と考えるとよい. つまりその式自体を "解く" というより， 変形・代入して 別の微分方程式を生み出すのが目的.

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論入門」(培風館2006山田) p168より引用: 『#ミニマル模型 や #WZW模型 の例において， #primary場 の #相関関数 は ある #微分方程式 を満たし， これらの解は #多価関数 となる。 この #多価性 を記述する #モノドロミー について考察する。』

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論入門」(培風館2006山田) p168より引用: 『#ミニマル模型 や #WZW模型 の例において， #primary場 の #相関関数 は ある #微分方程式 を満たし， これらの解は #多価関数 となる。 この #多価性 を記述する #モノドロミー について考察する。』

#解析力学_Lagrange形式編 62 Q. 物理学で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. #最小作用の原理 を満たす軌跡を #変分法 で導出した #微分方程式. #ニュートンの運動方程式 を 数学的に洗練された方法で定式化し直し #一般化座標 に拡張したもの. #ラグランジュの運動方程式.

オイラーの微分方程式は大丈夫ですか？しっかり学習しよう。 家庭教師はおまかせくださいませ💁！ #微分方程式 #数学 #数学教室 #プロ家庭教師

#シュレディンガー方程式の導出 44 #シュレディンガー方程式 {－(ℏ^2 / 2m)∆－e^2 / 4πε_0 r}X＝EX に ∆＝(∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) を代入すれば #極座標系 ( r，θ，φ ) の #微分方程式 になる！！

#シュレディンガー方程式の導出 42 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] －e^2 / 4πε_0 r } X ＝ E X ↑ この左辺は ① x，y，zで書かれた #直交座標 と ② r で書かれた #極座標 が混在しているため このままでは #微分方程式 を解けない. ①②どちらに統一するか？

#シュレディンガー方程式の導出 35 ▶#電子 の運動に関する 時間非依存の #シュレディンガー方程式: {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) = E X(x) ▶#運動量 演算子: p = ±i ℏ (d/dx) ここからは，上記の式を #水素原子 の電子に当てはめ 具体的な #微分方程式 を作ってみましょう。

＜#物理数学の参考書＞ 「問題-解答形式　物理と特殊関数」 (共立出版2004平松) 前書きより: 「#物理学 で 現象を規定する #方程式 のうち #2階 の #微分方程式 で， #解 が #特殊関数 で表される 問題を多く取り上げ その性質に関するもの， それを使わなければ 解の得られない問題を…」

#アナログ信号の解析法 51 #フーリエ級数展開 や #複素フーリエ級数展開 と比べた場合の #フーリエ変換 のメリット: ･#周期 が無い一般のアナログ #波形 に適用できる ･#微分方程式 を解くのに役立つ ･#離散フーリエ変換 や #FFT，#ラプラス解析 など重要な応用に橋渡しできる

＜#物理数学の参考書＞ SGCライブラリ55 「超幾何関数入門」(2007木村) 前書きより引用: 『#標語的 に言えば， #微分方程式 や #公式 の #具体的 な形は 覚えている必要はなく， #自然数 N の #分割 が指定されれば， 微分方程式も それらについての様々な公式も 原則的に #復元 できる。』

#シュレディンガー方程式の導出 5 問題: 水平にx軸を取り 両側の壁に水平に固定された弦がある時， 弦をつまんで持ち上げ手を離すと 弦全体はどんな運動をするか？ 位置xにおける時刻tの弦の振幅をu(x,t)とし u_xx ＝ (1 / v^2) u_tt なるuの #微分方程式 を導出せよ(下添え字は偏微分)

クレローの微分方程式は大丈夫ですか？しっかり学習しよう。 家庭教師はおまかせくださいませ💁！ #微分方程式 #数学 #数学教室 #プロ家庭教師

#解析力学_Lagrange形式編 25 未知関数 q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t) に対する #汎関数 S[q](ε)＝∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt ★ が満たす #微分方程式 は [ dS/dε ]_{ε=0} ＝0 であり， Sをεで微分する計算が必要. この計算を進めるには， ★の右辺より Lをεで微分する計算が必要.

#解析力学_Lagrange形式編 24 ① #汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる. … ③ q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t)の時 [ dS/dε ]_{ε=0} ＝0 ①は積分形の式だが，問題を言い換え ③の #微分方程式 に変形できた. 次ツイから，③左辺の dS/dεを詳しく計算してみよう.

#解析力学_Lagrange形式編 19 「#汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる」★ ↑ ★は，物理学的には #ラグランジアン Lの時間積分という #作用汎関数 が最小値をとること. すなわち #最小作用の原理 に相当する. ★を変形し q(t)が満たす #微分方程式 を作るには?