#アナログ信号の解析法 53 ↑ このタグの復習… ･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形) ↓ 三角関数で #級数展開 ･#フーリエ級数展開 ↓ 変形(#オイラーの公式) ･#複素フーリエ級数展開 ↓ 変形(#区分求積法) ･#フーリエ変換 周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能 OKでしょうか.

#アナログ信号の解析法 51 #フーリエ級数展開 や #複素フーリエ級数展開 と比べた場合の #フーリエ変換 のメリット: ･#周期 が無い一般のアナログ #波形 に適用できる ･#微分方程式 を解くのに役立つ ･#離散フーリエ変換 や #FFT，#ラプラス解析 など重要な応用に橋渡しできる

#アナログ信号の解析法 45 ①#フーリエ級数展開 f(t)=Σ(sinとcos) ②#複素フーリエ級数展開 f(t)=Σ(exp) ③#フーリエ変換 f(t)=∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dω ①②:#周期 Tの #アナログ信号 を 離散スペクトルの和(Σ)に分解 ③:一般のアナログ信号を 連続スペクトルの #積分(∫)に分解

#アナログ信号の解析法 34 ▶#周期 Tの #アナログ信号 ↓ ↓ sin,cos の集まりとみなす ↓ ▶#フーリエ級数展開 ↓ ↓ #オイラーの公式 で ↓ sin,cosを #exp に書き換え ↓ ▶#複素フーリエ級数展開 ↓ ↓ 周期T→∞の #極限 を取り ↓ #区分求積法 でΣを∫に ↓ ▶#フーリエ変換

#アナログ信号の解析法 32 #フーリエ級数展開 と比べた場合 #複素フーリエ級数展開 は何の役に立つ？ ・sin, cos だけでなく #exp で表記した #複素正弦波 も #直交関数系 なのだと分かる ・sin,cosで2項使って #級数展開 していたのが expという1項だけで #展開 でき， 表記がより簡潔

#アナログ信号の解析法 29 #展開 の #係数 を #積分形 で表示！ ▶#フーリエ級数展開: a_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) cos(2πn s/T) ds b_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) sin(2πn s/T) ds ▶#複素フーリエ級数展開: c_m＝(a_m－j b_m)/2 ＝(1/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) exp(－j2πm s/T) ds

#アナログ信号の解析法 23 #フーリエ級数展開 f(t)＝a_0 / 2 ＋ Σ{n=1→∞} { a_n・cos( 2πn・t/T )＋ b_n・sin( 2πn・t/T ) } ↑ この式に cosθ＝{e^(jθ)＋e^(－jθ)}/2 sinθ＝{e^(jθ)－e^(－jθ)}/2j を代入すれば， cos,sinが消えて #exp のΣになり #複素フーリエ級数展開 になる.

#アナログ信号の解析法 21 Q. #フーリエ級数展開 は #周期関数 しか扱えないので不便？ A. 物理的or工学的な問題を扱う際 無限に過去までとか 無限に未来までデータを知る必要は無い. 現実的に 「一定の有限期間T」の幅に収まる部分だけが処理対象. それは #周期 Tを持つのと同じこと.

#アナログ信号の解析法 20 #フーリエ級数展開 (cosとsinによるΣでの表現) ↑ 何の役に立つ？ ･#無限和 の場合: #直交関数系 による #展開 の概念を理解するのに役立つ. ･#有限和 の場合: 関数の #近似，#情報圧縮 に役立つ. ・関数の #偶関数 成分と #奇関数 成分を調べるのに役立つ.

#アナログ信号の解析法 19 区間長2πで #フーリエ級数展開 の係数を求める際 #三角関数 の #直交性 ①∫{-π→π} cos nt cos mt dt＝πδ_{m,n} ②∫{-π→π} sin nt sin mt dt＝πδ_{m,n} ③∫{-π→π} sin nt cos mt dt＝0 δは #クロネッカーのデルタ で， 添え字が 等しければ1 異なれば0

#アナログ信号の解析法 16 #フーリエ級数展開 の係数 a_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) cos( 2πn・s/T ) ds b_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) sin( 2πn・s/T ) dt 信号区間長が2πだとすると T＝2πを代入し a_n＝(1/π) ∫{-π→π} f(s) cos( ns ) ds b_n＝(1/π) ∫{-π→π} f(s) sin( ns ) ds

#アナログ信号の解析法 15 #フーリエ級数展開 で， #信号 の区間(#周期)を －πからπ　や 0から2π　とする流儀も多い。 その場合 「長さ2πの固定区間」の信号波形で 計算していることになり， 汎用性に欠けてしまう。 2πに固定せず，区間の長さLやTで 公式を覚えておいた方が良い。

#アナログ信号の解析法 14 #フーリエ級数展開 を 1つの式にまとめると… f(t) = {(2/T)∫{-T/2→T/2} f(s) ds}/2 + Σ{n=1→∞} { { (2/T)∫{-T/2→T/2} f(s)cos(2πn･s/T) ds } ･cos( 2πn･t/T ) + { (2/T)∫{-T/2→T/2} f(s)sin(2πn･s/T) ds } ･sin( 2πn･t/T ) }

#アナログ信号の解析法 13 ▶実数値関数の #フーリエ級数展開 f(t)＝a_0/2＋Σ{n=1→∞}{ a_n・cos(2πn・t/T)＋ b_n・sin(2πn・t/T) } ･#偶関数 は #フーリエ余弦展開 でき a_n(#余弦成分)のみ非0の値を持つ. ･#奇関数 は #フーリエ正弦展開 でき b_n(#正弦成分)のみ非0の値を持つ.

#アナログ信号の解析法 11 #フーリエ級数展開: sin(2πn・t/T)に sin(2πm・t/T)をかけると… ▶sin cos や sin sin の式は #積和の公式 より 1次の #三角関数 になり， 1周期 #積分 すると消える. ▶sin^2 の項だけは sin^2 x＝(1-cos 2x) / 2 1周期積分するとcos 2xが消え T/2になる.

#アナログ信号の解析法 10 #フーリエ級数展開: cos(2πn・s/T)に cos(2πm・s/T)をかけると… ▶cos cos や cos sin の式は #積和の公式 より 1次の #三角関数 になり， 1周期 #積分 すると消える. ▶cos^2 の項だけは cos^2 x＝(1＋cos 2x)/2 1周期積分するとcos 2xが消え T/2になる.

#アナログ信号の解析法 9 ▶実数値関数の #フーリエ級数展開 f(t)＝a_0/2＋Σ{n=1→∞}{ a_n・cos( 2πn・t/T )＋ b_n・sin( 2πn・t/T ) } a_0＝(2/T) ∫{－T/2→T/2} f(s) cos(0) ds a_0 / 2 ＝(1/T) ∫{－T/2→T/2} f(s) ds これはつまり 区間内の単純な #平均値 =#直流 成分.

#アナログ信号の解析法 8 ▶実数値関数の #フーリエ級数展開 f(t)＝a_0 / 2 ＋ Σ{n=1→∞}{ a_n・cos( 2πn・t/T )＋ b_n・sin( 2πn・t/T ) } 展開係数の求め方: a_n＝(2/T) ∫{－T/2→T/2} f(s) cos( 2πn・s/T ) ds (n≧0) b_n＝(2/T) ∫{－T/2→T/2} f(s) sin( 2πn・s/T ) ds (n≧1)

#アナログ信号の解析法 7 #フーリエ級数展開 の式の覚え方 時間波形 cos( 2πn・t/T ) 空間波形 cos( 2πn・x/L ) 「2πn」の意味は「n回転」. TやLは 1周期の幅の長さ. t: 0→T x: 0→L の時 t/T: 0→1 x/L: 0→1 なので 2πn･t/T: 0→2πn 2πn･x/L: 0→2πn 要するに「n回転」という事.

#アナログ信号の解析法 6 ▶実数値関数の #フーリエ級数展開 空間幅L内で定義された 空間パターンf(x)の波形を展開: f(x)＝a_0/2 ＋ Σ{n=1→∞}{ a_n・cos( 2πn・x/L )＋ b_n・sin( 2πn・x/L ) } #三角関数 は2πで1周り。これに 現在位置 / 全体区間長 = x / L の整数倍を対応付ける.