#大学の力学_惑星の運動編 48 #ケプラーの第２法則 と保存量の関係: #角運動量原理 の式 d↑L/dt = ↑N ↓ ↓ #中心力 の場合 ↓ #角運動量 ↑L = ↑r × ↑p が (d/dt)↑L = ↑0 を満たす #保存量 となる。 ↓ ↓ この結果を使い… ↓ #面積速度一定 d↑S(t)/dt = 一定 を示せる。

#大学の力学_惑星の運動編 45 #ルンゲ・レンツベクトル(Runge–Lenz vector) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB… 逆二乗則に従う #中心力 の下の運動 (#ケプラー問題)における #保存量 の1つ。 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル (Laplace–Runge–Lenz vector，#LRLベクトル) とも呼ばれる。

#大学の力学_惑星の運動編 37 結論: #重力 など #中心力 のもとでは， #角運動量 ベクトル ↑L(t) も #面積速度 ベクトル d↑S(t)/dt も 時間変化せず定ベクトルである。 #極座標 による座標の成分計算をせず， #ベクトル解析 のみで #ケプラーの第２法則(#面積速度一定)を 証明できた。

#大学の力学_惑星の運動編 36 #面積速度 と #角運動量 とは d↑S(t) / dt ＝ ↑L(t) / 2m なる比例関係で結ばれている。 ここで，#中心力 のもとでは ↑L(t) は時間変化せず定ベクトルである。 よって，中心力のもとでは 面積速度 d↑S(t) / dt も 時間変化せず定ベクトルである。

#大学の力学_惑星の運動編 34 #角運動量原理 の微分形 d↑L(t)/dt = ↑N(t) #中心力 では #モーメント が↑0なので ↑N(t) = ↑r(t) × ↑F(t) = ↑0 よって #重力 など中心力のもとでは d↑L(t) / dt = ↑0 より ↑L(t) = 一定値 であり， #角運動量 ベクトルは時間変化しない(保存する).

#大学の力学_惑星の運動編 33 質点に働く力 ↑F(t) が #中心力 の場合 #モーメント はどうなるか？ 中心力だから， #力 が #位置ベクトル と常に平行で ↑F(t) // ↑r(t) ゆえに この2つのベクトルの #外積 は↑0で， 質点に働く力のモーメントは常に ↑N(t) ＝ ↑r(t) × ↑F(t) ＝ ↑0

#大学の力学_惑星の運動編 32 #中心力(ちゅうしんりょく) central force ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD… ･「原点と物体を結ぶ線」に 沿っている方向に働く #力。 #位置ベクトル と #平行 な力。 ･#重力 や #クーロン力 など。 ･#球対称 なら #中心力場。 ･中心力は #保存力 場。

#大学の力学_惑星の運動編 31 #重力 のもとで #公転 運動する惑星に対し， #角運動量原理 の微分形 すなわち #オイラーの運動方程式 d↑L / dt ＝ ↑N　★ を立てるとどうなる？ 重力が #中心力 と呼ばれるタイプの 力であることに着目すると， 上記★式から #角運動量保存 を示せる。

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