#大学の力学_惑星の運動編 106 ここまでで， ベクトル形式の #運動方程式 を立て #微分方程式 を「#ベクトル のまま」解き #保存量 ↑e を導出し 惑星の #楕円軌道(#ケプラーの第１法則) を証明できた. 途中で使った #角運動量保存 は #ケプラーの第２法則(#面積速度一定)と 等価である.

#大学の力学_惑星の運動編 105 惑星の #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ (d/dt)↑e(t) ＝ 0 ↓ ↓ 両辺を積分する ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM － ↑r/r ↓ ↓ 両辺と ↑r の #内積 をとる ↓ #楕円軌道 (#ケプラーの第１法則)

#大学の力学_惑星の運動編 104 r=k/(e cosθ+1) に r=√(x^2+y^2) cosθ=x/√(x^2+y^2) を代入 ↓ √(x^2+y^2)=k/{1+ex/√(x^2+y^2)} ↓ √(x^2+y^2)+ex=k ↓ x^2+y^2=(k－ex)^2 ↓ (1－e^2)x^2 + 2kex + y^2＝k^2 ↓ {x+ke/(1－e^2)}^2 + y^2/(1－e^2) = k^2+{ke/(1－e^2)}^2 #楕円 の方程式.

#大学の力学_惑星の運動編 103 r, θ 座標系で表記した #惑星 の #軌道: r(t) = k / ( e cos θ(t) + 1 )　★ 変数変換 r = √(x^2＋y^2) cosθ = x / √(x^2＋y^2) によって #極座標 から #直交座標 に直すと， ★は #楕円 の方程式になる。 確かめてみよう！

#大学の力学_惑星の運動編 102 #LRLベクトル↑eの定義式の 両辺で↑rと #内積 をとって得られる r,θの式: e r cos θ = h^2 / GM － r ↓ r( e cos θ＋1) = h^2 / GM = 定数k ∴ r(t) = k / ( e cos θ(t) + 1 ) e, k はある定数. θ が決まると，r も決まる. つまり ある #軌道 を表わす.

#大学の力学_惑星の運動編 101 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル の定義式: ↑e(t) ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')} / GM － ↑r / r 両辺で ↑r(t) との #内積 をとった結果… 左辺・↑r(t) = e r cos θ 右辺・↑r(t) = h^2 / GM － r ∴ e r cos θ = h^2 / GM － r r, θ の式になった！

#大学の力学_惑星の運動編 100 ↑e・↑r ＝ |↑r×(↑r)'|^2 / GM － r　★ において， #角運動量保存 ↑L ＝ m ↑r × (↑r)' ＝ 一定値 を使うと， ある定ベクトル ↑h を使って ↑r × (↑r)' ＝ ↑h と書けて ★ = h^2 / GM － r ※ |↑h| ＝ h となる。

#大学の力学_惑星の運動編 99 #スカラー三重積 の公式 (↑a×↑b)・↑c ＝ (↑c×↑a)・↑b で ↑a＝↑r' ↑b＝↑r×↑r' ↑c＝↑r とおくと… ↑e・↑r = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}・↑r / GM － r = {↑r×(↑r)'}・{↑r×(↑r)'} / GM － r = |↑r×(↑r)'|^2 / GM － r

#大学の力学_惑星の運動編 98 ↑e・↑r = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}・↑r / GM － r この第1項の計算を進め より簡単化するには， #ベクトル解析 の #スカラー三重積 の公式 (↑a×↑b)・↑c ＝ (↑c×↑a)・↑b および #角運動量保存 ↑L(t)=↑r(t) × ↑p(t)=m ↑r × (↑r)'=一定 を使う。

#大学の力学_惑星の運動編 97 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')} / GM － ↑r / r 右辺と ↑r との #内積 をとると… ↑e・↑r = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}・↑r / GM － ↑r・↑r / r = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}・↑r / GM － r

#大学の力学_惑星の運動編 96 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル の定義式: ↑e ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')} / GM － ↑r / r この式の左辺と ↑r(t) との #内積 をとると e r(t) cos θ(t) になる。 では，この式の右辺と ↑r(t) との内積をとると どうなるか？

#大学の力学_惑星の運動編 95 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル と 惑星の #位置ベクトル との #内積 をとる ↓ cosθが決まる ↓ θが決まる ↓ おかげで #極座標 を作れる なぜこういう流れになるか？ 「#角度」を定義するのは，じつは難しい. 「内積」のほうがはるかに定義しやすい.

#大学の力学_惑星の運動編 94 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル である 定ベクトル ↑e と， 惑星の #位置ベクトル ↑r(t) との #内積 をとると… ↑e・↑r(t) ＝ e r cosθ ＝ e r(t) cos θ(t) ※eはある定数 となり， この r(t), θ(t) で #極座標 を設定可能になる。

#大学の力学_惑星の運動編 93 #LRLベクトル である ↑e を 「#座標系 の基準軸」として使える. とはどういう事か？ それは… ① ↑e から見て反時計回りに #角度 θ を計る事にし， #極座標 を設定できる. ② 惑星の #位置ベクトル ↑r と ↑e との #内積 をとれば， cosθ がわかる.

#大学の力学_惑星の運動編 92 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) は定ベクトルだから， この #ベクトル の向きは 「3次元空間内に固定されたまま ある一方向を常に向く。」 ということは…， この ↑e を「#座標系 の基準軸」として使える， という事になる。

#大学の力学_惑星の運動編 91 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) が #保存量 であり， 定ベクトルである… …ということは， この #ベクトル の大きさについて | ↑e(t) | ＝ e (ある定数) と書ける。 では ベクトルの向きについてはどうか？

#大学の力学_惑星の運動編 90 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')} / GM － ↑r / r について (d/dt)↑e ＝ ↑0 …ということは， この #ベクトル ↑e は 一見すると時間の関数だが， 実際には時間変化せず 定ベクトルである，という事を意味する。

#大学の力学_惑星の運動編 89 #ケプラーの第１法則 の 証明の流れを復習: #運動方程式 を立てる ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t)={(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM－↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる←★今ここ！ ↓ ↓ 両辺積分 ↓ #楕円軌道 を導出

#大学の力学_惑星の運動編 88 ↑r×↑ṙ のついでに ↑r×↑r̈ を求めてみたり (d/dt)( 1/r ) のついでに (d/dt)( ↑r/r ) を求めてみたり… 自発的にガンガン計算しまくって 自分の手で日常的に「実験・確認」している人には， #LRLベクトル の導入は 天下りでなく，自然・必然となる。

#大学の力学_惑星の運動編 87 物理が得意な人は， 誰にも命令・強要されなくても 自分から進んでバリバリ計算する. ↑r×↑ṙ はどうなるだろう. ↑r×↑r̈ ならどうなる？ (d/dt)( 1 / r ) はどうなるだろう. (d/dt)( ↑r / r ) ならどうなる？ …のように 「実験的に手を動かす」.

#大学の力学_惑星の運動編 86 「#ベクトル の時間微分」 「#外積 の時間微分」などという 慣れない計算操作に出会ったら， まずやることは いろんな式をガンガン微分し 計算結果を試行錯誤で確認してみる事。 自分の手を動かして実験してみる という労力を惜しむ人は，実力も伸びない。

#大学の力学_惑星の運動編 85 ↑r/r という基本的な関数形を 時間微分するだけで， 惑星の #運動方程式 の右辺 つまり #重力 の項の #原始関数 が求まる。 そして，その右辺に合わせて 運動方程式の左辺も 「両辺で変形がそろうように ×(↑r×↑ṙ)しておこう」 という発想が生まれる。

#大学の力学_惑星の運動編 84 ここまでの式変形が 初見では巧妙・技巧的すぎて， 「どうしてこんな変形を思いつくんだ」 「#LRLベクトル ↑e の導入も，天下り的では」 と思うかもしれない。 でも，式変形の各ステップの 動機付けや発想法の部分を よく読みなおし，記憶しよう。

#大学の力学_惑星の運動編 83 #惑星 の #運動方程式 ↑r̈=－(GM/r^3)↑r 変形し (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)－GM(↑r/r)}=↑0 ↓ (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)/GM－↑r/r}=↑0 { } 内を ↑e=↑ṙ×(↑r×↑ṙ)/GM－↑r/r とおけば (d/dt)↑e=↑0 ↑eは #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル.

#大学の力学_惑星の運動編 82 #惑星 の #運動方程式 ↑r̈=－(GM/r^3)↑r 両辺に×(↑r×↑ṙ)し ↑r̈×(↑r×↑ṙ) = －(GM/r^3){↑r×(↑r×↑ṙ)} 変形 (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)} = GM(d/dt)(↑r/r) 整理 (d/dt){ ↑ṙ×(↑r×↑ṙ)－GM(↑r/r) } = ↑0 #保存量 が現れた！

#大学の力学_惑星の運動編 81 ここまでまとめ: #惑星 の #運動方程式 ↑r̈ = －( GM / r^3 ) ↑r 両辺に ×(↑r×↑ṙ) すると 左辺 = ↑r̈ × (↑r×↑ṙ) = (d/dt){ ↑ṙ × (↑r×↑ṙ ) } 右辺 = －(GM/r^3){ ↑r × (↑r × ↑ṙ) } = GM (d/dt)( ↑r / r ) 両辺を積分できる！

#大学の力学_惑星の運動編 80 もともと #惑星 の #運動方程式 の右辺に現れる －(1/r^3) ↑r およびそれを変形した －(1/r^3){ ↑r × (↑r × ↑ṙ) } の #原始関数 を得たいのだった. 前ツイで (d/dt)( ↑r / r ) = －(1/r^3){ ↑r × (↑r × ↑ṙ) } を得たので，原始関数は ↑r / r.

#大学の力学_惑星の運動編 79 (d/dt)( ↑r / r ) = ( 1 / r^3 ){ ↑ṙ r･r － ↑r ṙ･r } = ( 1 / r^3 ){ ↑r × ( ↑ṙ × ↑r ) } ★ ここで，#ベクトル解析 の公式 ↑b × ↑a ＝ － ↑a × ↑b (#外積 の #交代性) を使うと ★ ＝ －( 1 / r^3 ){ ↑r × ( ↑r × ↑ṙ ) } となる。

#大学の力学_惑星の運動編 78 簡単化したい式 (d/dt)( ↑r / r ) = (1/r^2){ ↑ṙ r－↑r ṙ } = (1/r^3){ ↑ṙ r･r－↑r ṙ･r } ① #ベクトル三重積 ↑b (↑a･↑c)－↑c (↑a･↑b) ② = ↑a×(↑b×↑c) ②で ↑b=↑ṙ ↑c=↑r ↑a=↑r とおくと ① = (1/r^3){ ↑r×(↑ṙ×↑r) }

#大学の力学_惑星の運動編 77 #ベクトル三重積 ↑b (↑a･↑c)－↑c (↑a･↑b) ① = ↑a×(↑b×↑c) #惑星 の #運動方程式 の右辺 (1/r^2){ ↑ṙ r － ↑r ṙ } = (1/r^3){ ↑ṙ r･r － ↑r ṙ･r } ② ①で ↑b=↑ṙ ↑c=↑r ↑a=↑r とおくと ② = (1/r^3){ ↑r×(↑ṙ×↑r) }

#大学の力学_惑星の運動編 76 #ベクトル三重積 から話を戻すと 今やりたい事は… (d/dt)( ↑r / r ) = (1/r^2){ ↑ṙ r － ↑r ṙ } の右辺を簡単化したい，という事. 公式 ↑b (↑a･↑c)－↑c (↑a･↑b) = ↑a × (↑b × ↑c) を使えば，差「－」を消して 1項にまとめる事ができる.

#大学の力学_惑星の運動編 75 ここまでで #ベクトル三重積 ↑a × (↑b × ↑c) = ↑b (↑a・↑c) － ↑c (↑a・↑b) について要約すると… 左辺「#外積 を含む式」(3重積) ⇔ 右辺「外積を含まない式」(2本の #ベクトル の差) の 相互書き換えができる！ 右辺は和ではなく差にする事。

#大学の力学_惑星の運動編 74 #ベクトル三重積 の公式: ↑c=－↑c' として 逆方向の #ベクトル を考えれば， 「2本のベクトルの和」も差の形になり #外積 に変形可能. ↑b＋↑c = ↑b－↑c' = ↑b (↑a･↑c')－↑c' (↑a･↑b) = ↑a×(↑b×↑c' ) = －↑a×(↑b×↑c) なる↑aが存在.

#大学の力学_惑星の運動編 73 ↑b, ↑c が既知の時， その差を #外積(3重積)に書き換え可能な ↑b－↑c　① = ↑b (↑a･↑c)－↑c (↑a･↑b) = ↑a × (↑b × ↑c)　② を満たす↑aの取り方は， 自由度1つ分の不定性がある. 2本のベクトル(①)を 1本，1項(②)にまとめられる便利な式.

#大学の力学_惑星の運動編 72 前ツイ補足 ac cosθ1=1① ab cosθ2=1② ↓ cosθ1/cosθ2=b/c③ θ2を決めると ③よりcosθ1=(b/c)cosθ2でθ1が決まる※|cos|≦1に注意 ②よりa=1/bcosθ2④ でaも決まる. ①③よりa=1/ccosθ1=1/{c(b/c)cosθ2}=1/bcosθ2となり④と等価 ∴①②の解a,θ1,θ2が決まる

#大学の力学_惑星の運動編 71 ↑b, ↑c が既知の時 ↑b－↑c = ↑b (↑a･↑c) － ↑c (↑a･↑b) = ↑a×(↑b×↑c) となるには ↑a･↑c＝1 ↑a･↑b＝1 を満たす↑aが存在すればよい. ↓ ac cos θ_1＝1 ab cos θ_2＝1 ↓ cos θ_1 / cos θ_2 = b/c θ_2を自由に決めれば θ_1とaが決まる.

#大学の力学_惑星の運動編 70 #ベクトル三重積 の使いどころ: ある2本のベクトル ↑b, ↑c がある時，その差を ↑b－↑c = ↑b (1) － ↑c (1) = ↑b (↑a･↑c) － ↑c (↑a･↑b) ※↑a･↑c＝1, ↑a･↑b＝1 を満たすある↑aにより = ↑a × (↑b × ↑c) と書き換えることは可能か？

#大学の力学_惑星の運動編 69 #ベクトル三重積 ↑a×(↑b×↑c)=↑b(↑a･↑c)－↑c(↑a･↑b) で －↑c=↑c' とおくと… 左辺 =－↑a×(↑b×↑c) 右辺 －↑b(↑a･↑c' )＋↑c' (↑a･↑b) = －{ ↑b (↑a･↑c' )－↑c' (↑a･↑b) } 両辺の負号が打ち消し合い もとの公式と同じになる。

#大学の力学_惑星の運動編 68 #ベクトル三重積 ↑a × (↑b × ↑c) = ↑b (↑a・↑c) － ↑c (↑a・↑b) ↑ 右辺のマイナスを消したい…と思い －↑c ＝ ↑c' と置きなおしても 右辺を「和」の形に変形することはできない！ 和ではなく 必ず「差」の形でないと この3重積は成立しない。

#大学の力学_惑星の運動編 67 #ベクトル三重積 ↑a × (↑b × ↑c) ＝ ↑b (↑a・↑c) － ↑c (↑a・↑b) ↑ この公式は 「左辺から右辺への変形」 (#外積 の記号を外す操作) が有名。 しかし，その逆で 「右辺から左辺への変形」 (2つのベクトルの差を1項にまとめる操作) も役に立つ。