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#3次元・極座標のラプラシアン導出 6 ▶(文献2) 講談社サイエンティフィク 「単位が取れる量子化学ノート」(福間): 講義06「回転運動と #角運動量」の 「∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z を 極座標パラメータ r, θ, φ で表す」 という計算説明が丁寧。 ただし2乗和をとる部分は書いていない。
#3次元・極座標のラプラシアン導出 3 様々な書籍で 極座標の∆をどう求めているか 概観してみよう。 ▶(文献1) 裳華房・基礎化学選書12「量子化学」(原田): 5章「#角運動量」 5.2「極座標による表示」 #角運動量演算子 の極座標表示のついでに #ラプラシアン の極座標表示も求めている。
#3次元・極座標のラプラシアン導出 6 ▶(文献2) 講談社サイエンティフィク 「単位が取れる量子化学ノート」(福間): 講義06「回転運動と #角運動量」の 「∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z を 極座標パラメータ r, θ, φ で表す」 という計算説明が丁寧。 ただし2乗和をとる部分は書いていない。
#3次元・極座標のラプラシアン導出 3 様々な書籍で 極座標の∆をどう求めているか 概観してみよう。 ▶(文献1) 裳華房・基礎化学選書12「量子化学」(原田): 5章「#角運動量」 5.2「極座標による表示」 #角運動量演算子 の極座標表示のついでに #ラプラシアン の極座標表示も求めている。
#大学の力学_惑星の運動編 48 #ケプラーの第2法則 と保存量の関係: #角運動量原理 の式 d↑L/dt = ↑N ↓ ↓ #中心力 の場合 ↓ #角運動量 ↑L = ↑r × ↑p が (d/dt)↑L = ↑0 を満たす #保存量 となる。 ↓ ↓ この結果を使い… ↓ #面積速度一定 d↑S(t)/dt = 一定 を示せる。
#大学の力学_惑星の運動編 44 #角運動量 ↑L(t) = ↑r(t) × ↑p(t) は わりと単純な形をしている。 いっぽう #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) = { (↑r) ' × ( ↑r × (↑r) ' ) } / GM - ↑r / r は ↑L よりは複雑な式。 ↑L(t) も ↑e(t) も 時間変化しない #保存量。
#大学の力学_惑星の運動編 43 #ケプラーの第2法則(#面積速度一定) において,系の #保存量 は ・#角運動量 ↑L または ・#面積速度 d↑S/dt だった。 いっぽう #ケプラーの第1法則(#楕円軌道) において,系の保存量は ↑L と別に #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e がある。
#大学の力学_惑星の運動編 37 結論: #重力 など #中心力 のもとでは, #角運動量 ベクトル ↑L(t) も #面積速度 ベクトル d↑S(t)/dt も 時間変化せず定ベクトルである。 #極座標 による座標の成分計算をせず, #ベクトル解析 のみで #ケプラーの第2法則(#面積速度一定)を 証明できた。
#3次元・極座標のラプラシアン導出 6 ▶(文献2) 講談社サイエンティフィク 「単位が取れる量子化学ノート」(福間): 講義06「回転運動と #角運動量」の 「∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z を 極座標パラメータ r, θ, φ で表す」 という計算説明が丁寧。 ただし2乗和をとる部分は書いていない。
#大学の力学_惑星の運動編 36 #面積速度 と #角運動量 とは d↑S(t) / dt = ↑L(t) / 2m なる比例関係で結ばれている。 ここで,#中心力 のもとでは ↑L(t) は時間変化せず定ベクトルである。 よって,中心力のもとでは 面積速度 d↑S(t) / dt も 時間変化せず定ベクトルである。
#3次元・極座標のラプラシアン導出 3 様々な書籍で 極座標の∆をどう求めているか 概観してみよう。 ▶(文献1) 裳華房・基礎化学選書12「量子化学」(原田): 5章「#角運動量」 5.2「極座標による表示」 #角運動量演算子 の極座標表示のついでに #ラプラシアン の極座標表示も求めている。
#大学の力学_惑星の運動編 30 「#角運動量原理 の微分形」 d↑L / dt = ↑N ↑ この式のことを #オイラーの運動方程式 と呼ぶ場合がある。 Euler's equations (rigid body dynamics) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… ・#剛体 の #回転運動 を表す式。 ・#トルク ↑Nと #角運動量 ↑L の関係
#大学の力学_惑星の運動編 27 #運動量原理 の微分形 d↑p(t)/dt = ↑F(t) 両辺に左から ↑r(t) × すると… #角運動量 の定義より 左辺 = ↑r(t) × d↑p(t)/dt = (d/dt)( ↑r(t) × ↑p(t) ) = (d/dt) ↑L(t) この式変形はOK。 また #モーメント の定義より 右辺 = ↑r(t) × ↑F(t) = ↑N(t)
#大学の力学_惑星の運動編 24 #運動量原理 の微分形 d↑p(t)/dt=↑F(t) 両辺に左から ↑r(t) × すると… #角運動量 の定義より 左辺 =↑r(t) × d↑p(t)/dt★ =(d/dt)( ↑r(t)×↑p(t) )★ =(d/dt) ↑L(t) ※★の式変形は説明が必要 #モーメント の定義より 右辺 =↑r(t) × ↑F(t) =↑N(t)
#大学の力学_惑星の運動編 23 #運動量原理 の積分形 ↑p_1 - ↑p_0 = ∫{t_0→t_1} ↑F(t) dt ↑ 両辺に左から ↑r× すると… #角運動量 の定義より 左辺 = ↑r×↑p_1 - ↑r×↑p_0 = ↑L_1 - ↑L_0 #モーメント の定義より 右辺 = ∫{t_0→t_1} ↑r×↑F(t) dt = ∫{t_0→t_1} ↑N(t) dt
#大学の力学_惑星の運動編 15 #角運動量 (angular momentum) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92… #運動量 の #モーメント を表す #力学 の概念。 ↑L = ↑r×↑p = m ↑r×↑v ×は #外積。 #角運動量保存則 は, #ケプラーの第2法則 の #面積速度一定 と密接な関わりがある。
#大学の力学_惑星の運動編 14 #角運動量 と #面積速度 の関係は? 角運動量ベクトル ↑L(t) = ↑r(t) × ↑p(t) = m ↑r(t) × ↑v(t) 面積速度ベクトル d↑S / dt = (1/2) ↑r(t) × ↑v(t) この両者の間には d↑S / dt = ↑L / 2m なる定数倍の比例関係が成り立つ。 すなわち平行である。