#線形代数入門 34 #行列 M = { {0,4,5}, {-2,3,2}, {0,2,4} } のn乗を求めたいが このMを #対角化 できないことを確かめよう。 「{ { 0, 4, 5 }, { -2, 3, 2 }, { 0, 2, 4 } }を対角化」 ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… 「対角化不可能」と出力される。

#線形代数入門 33 「#行列 のn乗」の演習問題: a(n+1) = 4 b(n) + 5 c(n) b(n+1) = - 2 a(n) + 3 b(n) + 2 c(n) c(n+1) = 2 b(n) + 4 c(n) 行列M = { {0,4,5}, {-2,3,2}, {0,2,4} } のn乗を使って， これら3つの数列の一般項を求めよ。 ただしMは #対角化 できない。 どうする？

#線形代数入門 32 前ツイまでで， 3変数の #数列 の #連立漸化式 を #行列 の #対角化 によって解いた。 次に，それと似た問題設定だが 同じ方法が使えないパターンを見てみよう。 「行列を対角化できない場合は， どうやって行列のn乗を求めるのか？」 というものである。

#線形代数入門 31 #固有値 が1,2,3であるような #対角化可能 な #行列 Mの数値例として 下記出典のものを使用した。 共立出版「詳解 線形代数演習」 5章「固有値と固有ベクトル」問題[4](2)より。 なおここでは， #対角化 に用いる #変換行列 Sは #直交行列 にする旨の指定はない。

#線形代数入門 30 ↑x(n)={ a(n), b(n), c(n) } M={ {1,0,-1}, {3,2,3}, {6,2,3} } とおくと， #数列 の #連立漸化式 を ↑x(i+1) = M ↑x(i) と書けて ↑x(n) = M^n ↑x(0) ここで #行列 Mの #対角化 を使えば M^n は求まるので， 数列の一般項 ↑x(n) も求まったことになる。

#線形代数入門 29 #行列 Mに対し， ① M^n ② Mの #対角化 M = S J S^{-1} による形式 (M^n =) S J^n S^{-1} ↑ この２つが一致する事の検算。 ①－②を計算してみると… ja.wolframalpha.com/input?i=%7B%7B… 出力は #零行列 になる。

#線形代数入門 28 #行列 M の #対角化 M = S J S^{-1} がもしできた場合， S^{-1} S = E の性質を使えば 行列のn乗は M^n = (S J S^{-1}) … (S J S^{-1}) = S J^n S^{-1} であり， #対角行列 のn乗 J^n は楽に求まるので， M^n も楽に計算できる。

#線形代数入門 27 #行列 M を #対角化 し #対角行列 J により M = S J S^{-1} という形に書けたとする。 このとき S^{-1} S = E (#単位行列) という #逆行列 の性質を使えば M^2 = ( S J S^{-1} ) ( S J S^{-1} ) = S J ( S^{-1} S ) J S^{-1} = S J ( E ) J S^{-1} = S J^2 S^{-1}

#線形代数入門 26 #WolframAlpha で DiagonalMatrix関数で #対角行列 を作り そのn乗を求め， 計算結果をシンプル表示(#簡約化)するには… Simplify[ ( DiagonalMatrix[ {1,2,3,4} ] )^n ] wolframalpha.com/input?i=Simpli… 出力 ( 1 |0|0|0 0| 2^n |0|0 0|0| 3^n |0 0|0|0| 4^n )

#線形代数入門 25 #WolframAlpha で… ▶#対角行列 をシンプルに書く方法 DiagonalMatrix[ {1,2,3,4} ] wolframalpha.com/input?i=Diagon… これで { {1,0,0,0}, {0,2,0,0}, {0,0,3,0}, {0,0,0,4} } という #行列 になる。 #対角成分 を並べるだけで書けて楽！

#線形代数入門 24 #対角行列 のn乗は， 各 #対角成分 をそれぞれn乗すればよい。 対角行列 J に対し J^n を求める具体例: { {2,0,0}, {0,3,0}, {0,0,4} }^n ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… 出力: { {2^n, 0, 0}, {0, 3^n, 0}, {0, 0, 4^n} } 対角成分ごとのn乗である。

#線形代数入門 23 JordanDecomposition[ { {1,0,-1}, {3,2,3}, {6,2,3} } ] ↓ 出力: M = S J S^(-1)　★ S = { {-1,-2,-1}, {3,5,3}, {0,2,2} } J = { {1,0,0 }, {0,2,0}, {0,0,3}} ★式を検算してみると… ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… 確かに，S J S^(-1) が M と同じになった。

#線形代数入門 22 #WolframAlpha で… ▶#行列 を #対角化 する方法: JordanDecomposition[ { {1,0,-1}, {3,2,3}, {6,2,3} } ] ja.wolframalpha.com/input?i=Jordan… 出力: M = S J S^(-1) S = { {-1, -2, -1 }, {3, 5, 3}, {0, 2, 2} } J = { {1, 0, 0 }, {0, 2, 0}, {0, 0, 3}}

#線形代数入門 21 前ツイで，#行列 Mのn乗を 容易に #WolframAlpha で計算できた理由は， このMが「#対角化 できる」という 良い性質をもった行列だったから。 Mを対角化するとは， #対角成分 のみ非ゼロの値を持つ行列 (#対角行列)Jにより M = S J S^(-1) の形に分解するということ。

#線形代数入門 20 #WolframAlpha で… ▶#行列 のn乗を求める方法 {{1,0,-1}, {3,2,3}, {6,2,3}}^n ja.wolframalpha.com/input?i=%7B%7B… 成分ごとにnの式で表した一般項が出力される。 #固有値･#固有ベクトル を 手計算で求めることなく 一発で検算･確認できるのは便利！

#線形代数入門 19 #数列 の一般項 ↑x(n) = M^n ↑x(0) を求めるには，#行列 M = { { 1, 0, -1 }, { 3, 2, 3 }, { 6, 2, 3 } } のn乗 M^n を求める必要が生じる。 これは行列Mを #対角化 することで 求められる。 そのためには，行列Mの #固有値，#固有ベクトル を求めればよい。

#線形代数入門 18 ↑x(n) ＝ { a(n), b(n), c(n) } M ＝ { { 1, 0, -1 }, { 3, 2, 3 }, { 6, 2, 3 } } とおくと， #数列 の #連立漸化式 を ↑x(i+1) ＝ M ↑x(i) と書けて，これはまるで 「公比Mの #等比数列」の漸化式のよう. 一般項は ↑x(n) ＝ M^n ↑x(0)

#線形代数入門 17 3つの #数列 の #漸化式 a(n+1) = a(n) - c(n) b(n+1) = 3 a(n) + 2 b(n) + 3 c(n) c(n+1) = 6 a(n) + 2 b(n) + 3 c(n) #行列 と #ベクトル で書き直すと { a(n+1), b(n+1), c(n+1) } ＝ { { 1, 0, -1 }, { 3, 2, 3 }, { 6, 2, 3 } }{ a(n), b(n), c(n) }

#線形代数入門 16 #対角化 の演習問題: 3つの #数列 がある。 a(n+1) = a(n) - c(n) b(n+1) = 3 a(n) + 2 b(n) + 3 c(n) c(n+1) = 6 a(n) + 2 b(n) + 3 c(n) #行列 のn乗を使って これら3つの数列の一般項を求め #WolframAlpha で検算せよ。 次ツイ以降で解いてみよう！

#線形代数入門 15 #行列式 の演習問題: 積の #写像 が 写像の積に等しいような #連続写像 は #行列式 のべき乗に限られる事を示せ. つまり f が n次 #正則行列 X, Y を引数にとり 実数を返し f( XY ) = f(X) f(Y) をみたす時， ある実数sが存在し f( X ) = { det(X) }^s となる事を示せ.

#線形代数入門 14 #行列式 の演習問題: (1) 行列式 det(A) を定義せよ。 (2) 下記の各々に対し行列式の計算方法を述べよ。 (a) 2次正方行列 (b) 3次正方行列 (c) 4次以上の一般の正方行列 (3) (1)の定義に基づき det( AB ) ＝ det(A) det(B) を示せ。

#線形代数入門 13 #WolframAlpha で… ▶#行列 と #ベクトル で書かれた #連立一次方程式 を解く方法: Solve[ {{2,1,3}, {5,6,4}, {9,8,7}} . {x,y,z} = {10,11,12}, {x,y,z} ] wolframalpha.com/input?i=Solve%… 出力結果: x = -17/3, z = 19/3, y = 7/3

#線形代数入門 12 #WolframAlpha で… ▶#連立方程式 を解く方法: Solve[ { x^2 + y == 1, x - y == -1 }, {x, y} ] wolframalpha.com/input?i=Solve%… 出力 x=-1, y=0 x=0, y=1 Solveコマンドの 第1引数に方程式のリスト 第2引数に「どの変数について解きたいか」を指定する。

#線形代数入門 11 #WolframAlpha で… ▶#行列 どうしの積を求める方法 { {1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9} } . { {0,0,1}, {1,0,0}, {0,1,0} } wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… 出力 {{2, 3, 1}, {5, 6, 4}, {8, 9, 7}} 半角ドットは行列の積も表せる。

#線形代数入門 10 #WolframAlpha で 計算の記法を調べたい場合… たとえば「Wolfram Alpha 逆行列」でググる。 それで情報が見つからない時は かわりに「Mathematica 逆行列」でググる。 例: Wolfram言語＆システム ドキュメントセンター Inverseコマンド reference.wolfram.com/language/ref/I… .

#線形代数入門 9 #WolframAlpha では { {1,2,3}, {2,3,1}, {3,1,2} } の逆行列 のように 日本語(自然言語)で計算命令を書くこともできるし Inverse[ {{1,2,3}, {2,3,1}, {3,1,2}} ] のように コマンド・関数形式で書く事もできる。 実行例 wolframalpha.com/input?i=Invers… .

#線形代数入門 8 #WolframAlpha で… ▶#逆行列 を求める方法: { {1,2,3}, {2,3,1}, {3,1,2} } の逆行列 wolframalpha.com/input?i=%7B%7B… 出力結果: 1/18 (-5 | 1 | 7 1 | 7 | -5 7 | -5 | 1) 行 #ベクトル をカンマ区切りで並べ { } で囲むと #行列 になる。

#線形代数入門 7 #WolframAlpha で… ▶#ベクトル どうしの #外積 を求める方法: Cross[ {1,0,0}, {0,1,0} ] wolframalpha.com/input?i=Cross%… 出力結果： {0, 0, 1} Wolframのコマンドは Mathematicaの関数名[ 引数, 引数, … ] の形をしている。

#線形代数入門 6 #WolframAlpha で… ▶#ベクトル どうしの #内積 を求める方法: {1,2,3} . {2,3,4} wolframalpha.com/input?i=%7B1%2… 値をカンマで区切って { } で囲むとベクトルになる。 半角ドットが内積の記号になる。

#線形代数入門 5 具体的な問題を解いた時 検算のため電卓を使う時がある。 大学生になると，その「電卓」は #WolframAlpha などの数式処理ソフトになる。 "数値計算" ではなく "数式処理" である点が重要！ こうしたツールを使って検算すれば， 自分の計算が合っているか確かめられる。

#線形代数入門 1 linalg.u-aizu.ac.jp/Linear_Algebra… p1から引用： 「#行列式 の歴史は， 19世紀半ばから興った #行列論 matrix theory の系統的研究より 一世紀以上も古い。 このことは #行列 matrixが 『行列式を生む母体 matrix』 として捉えられた言い方にも反映されている。」