#3次元・極座標のラプラシアン導出 78 #直交座標 での #偏微分 ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z の３つをそれぞれ #極座標 パラメータ r，θ，φ だけで表す事ができた。 次は，これらの二乗和をとればよい。 #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2 ＋ (∂/∂y)^2 ＋ (∂/∂z)^2 の極座標表示まであと少し！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 75 #極座標 から #直交座標 への #座標変換 の係数 #行列: A = { { sinθ cosφ，cosθ cosφ，sinφ }， { sinθ sinφ， cosθ sinφ， cosφ }， { cosθ，　　－sinθ，　　0　　} } #直交行列 で (A^t) A = E ゆえ #逆行列 は #転置 で求まる. A^(-1) = A^t

#3次元・極座標のラプラシアン導出 46 「#極座標 の変数 r，θ，φ を使い #直交座標 の変数 x，y，z を 各々個別に表わす」 ↑ これはもうできた。 次にやりたいのが… ↓ 「極座標の変数 r，θ，φ を使い， 直交座標の変数【による #偏微分】 ∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z を 各々個別に表わす」

#3次元・極座標のラプラシアン導出 30 #直交座標 として #右手系 をとり， 親指・人差し指・中指の順に x，y，z軸を並べる。 この時 「x軸からy軸の方向に #右ねじ を回すと， ねじがz軸の方向に進む」。 各方向を向く #単位ベクトル に対し #外積 が ↑e_x × ↑e_y ＝ ↑e_z となる。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 29 2次元平面で (x，y) ⇔ (r，θ) の相互書き換えは これで大丈夫。 つぎは3次元空間だが #極座標 の前に まず #直交座標 の軸の取り方を押さえよう。 3次元でx軸，y軸，z軸の並び方を どう記憶しているか？ ↑ これがあやふやだと 極座標も作れない。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 8 ▶(文献3) 杉浦「解析入門Ⅰ」: 第Ⅱ章「微分法」 §6「多変数ベクトル値函数の微分法」 p136～137 2次元平面で #極座標 を定義 ↓ ∂/∂rと∂/∂θを #直交座標 の #偏微分 で表す方法を導く ↓ ∂/∂x と ∂/∂y を 極座標の偏微分で表す方法を導く

#シュレディンガー方程式の導出 42 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] －e^2 / 4πε_0 r } X ＝ E X ↑ この左辺は ① x，y，zで書かれた #直交座標 と ② r で書かれた #極座標 が混在しているため このままでは #微分方程式 を解けない. ①②どちらに統一するか？

#3次元・極座標のラプラシアン導出 78 #直交座標 での #偏微分 ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z の３つをそれぞれ #極座標 パラメータ r，θ，φ だけで表す事ができた。 次は，これらの二乗和をとればよい。 #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2 ＋ (∂/∂y)^2 ＋ (∂/∂z)^2 の極座標表示まであと少し！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 75 #極座標 から #直交座標 への #座標変換 の係数 #行列: A = { { sinθ cosφ，cosθ cosφ，sinφ }， { sinθ sinφ， cosθ sinφ， cosφ }， { cosθ，　　－sinθ，　　0　　} } #直交行列 で (A^t) A = E ゆえ #逆行列 は #転置 で求まる. A^(-1) = A^t

#3次元・極座標のラプラシアン導出 46 「#極座標 の変数 r，θ，φ を使い #直交座標 の変数 x，y，z を 各々個別に表わす」 ↑ これはもうできた。 次にやりたいのが… ↓ 「極座標の変数 r，θ，φ を使い， 直交座標の変数【による #偏微分】 ∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z を 各々個別に表わす」

#3次元・極座標のラプラシアン導出 30 #直交座標 として #右手系 をとり， 親指・人差し指・中指の順に x，y，z軸を並べる。 この時 「x軸からy軸の方向に #右ねじ を回すと， ねじがz軸の方向に進む」。 各方向を向く #単位ベクトル に対し #外積 が ↑e_x × ↑e_y ＝ ↑e_z となる。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 29 2次元平面で (x，y) ⇔ (r，θ) の相互書き換えは これで大丈夫。 つぎは3次元空間だが #極座標 の前に まず #直交座標 の軸の取り方を押さえよう。 3次元でx軸，y軸，z軸の並び方を どう記憶しているか？ ↑ これがあやふやだと 極座標も作れない。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 8 ▶(文献3) 杉浦「解析入門Ⅰ」: 第Ⅱ章「微分法」 §6「多変数ベクトル値函数の微分法」 p136～137 2次元平面で #極座標 を定義 ↓ ∂/∂rと∂/∂θを #直交座標 の #偏微分 で表す方法を導く ↓ ∂/∂x と ∂/∂y を 極座標の偏微分で表す方法を導く

#シュレディンガー方程式の導出 42 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] －e^2 / 4πε_0 r } X ＝ E X ↑ この左辺は ① x，y，zで書かれた #直交座標 と ② r で書かれた #極座標 が混在しているため このままでは #微分方程式 を解けない. ①②どちらに統一するか？

#3次元・極座標のラプラシアン導出 78 #直交座標 での #偏微分 ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z の３つをそれぞれ #極座標 パラメータ r，θ，φ だけで表す事ができた。 次は，これらの二乗和をとればよい。 #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2 ＋ (∂/∂y)^2 ＋ (∂/∂z)^2 の極座標表示まであと少し！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 75 #極座標 から #直交座標 への #座標変換 の係数 #行列: A = { { sinθ cosφ，cosθ cosφ，sinφ }， { sinθ sinφ， cosθ sinφ， cosφ }， { cosθ，　　－sinθ，　　0　　} } #直交行列 で (A^t) A = E ゆえ #逆行列 は #転置 で求まる. A^(-1) = A^t

#3次元・極座標のラプラシアン導出 46 「#極座標 の変数 r，θ，φ を使い #直交座標 の変数 x，y，z を 各々個別に表わす」 ↑ これはもうできた。 次にやりたいのが… ↓ 「極座標の変数 r，θ，φ を使い， 直交座標の変数【による #偏微分】 ∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z を 各々個別に表わす」

#大学の力学_惑星の運動編 103 r, θ 座標系で表記した #惑星 の #軌道: r(t) = k / ( e cos θ(t) + 1 )　★ 変数変換 r = √(x^2＋y^2) cosθ = x / √(x^2＋y^2) によって #極座標 から #直交座標 に直すと， ★は #楕円 の方程式になる。 確かめてみよう！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 30 #直交座標 として #右手系 をとり， 親指・人差し指・中指の順に x，y，z軸を並べる。 この時 「x軸からy軸の方向に #右ねじ を回すと， ねじがz軸の方向に進む」。 各方向を向く #単位ベクトル に対し #外積 が ↑e_x × ↑e_y ＝ ↑e_z となる。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 29 2次元平面で (x，y) ⇔ (r，θ) の相互書き換えは これで大丈夫。 つぎは3次元空間だが #極座標 の前に まず #直交座標 の軸の取り方を押さえよう。 3次元でx軸，y軸，z軸の並び方を どう記憶しているか？ ↑ これがあやふやだと 極座標も作れない。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 8 ▶(文献3) 杉浦「解析入門Ⅰ」: 第Ⅱ章「微分法」 §6「多変数ベクトル値函数の微分法」 p136～137 2次元平面で #極座標 を定義 ↓ ∂/∂rと∂/∂θを #直交座標 の #偏微分 で表す方法を導く ↓ ∂/∂x と ∂/∂y を 極座標の偏微分で表す方法を導く

#シュレディンガー方程式の導出 42 { －(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ] －e^2 / 4πε_0 r } X ＝ E X ↑ この左辺は ① x，y，zで書かれた #直交座標 と ② r で書かれた #極座標 が混在しているため このままでは #微分方程式 を解けない. ①②どちらに統一するか？

#3次元・極座標のラプラシアン導出 78 #直交座標 での #偏微分 ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z の３つをそれぞれ #極座標 パラメータ r，θ，φ だけで表す事ができた。 次は，これらの二乗和をとればよい。 #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2 ＋ (∂/∂y)^2 ＋ (∂/∂z)^2 の極座標表示まであと少し！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 75 #極座標 から #直交座標 への #座標変換 の係数 #行列: A = { { sinθ cosφ，cosθ cosφ，sinφ }， { sinθ sinφ， cosθ sinφ， cosφ }， { cosθ，　　－sinθ，　　0　　} } #直交行列 で (A^t) A = E ゆえ #逆行列 は #転置 で求まる. A^(-1) = A^t