#解析力学_Lagrange形式編 112 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 「#オストログラドスキーの定理 は 通常の物理系の #運動方程式 が 2階微分方程式として定式化される理由を 説明する，と解釈される」 #ニュートンの運動方程式 や #オイラー・ラグランジュ方程式 が 2階なのは このためなんですね.

＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」 (岩波書店2005砂田) p8より: 『(#量子力学的)#運動方程式 √(-1) dψ / dt ＝ Ĥ_ħ ψ は常に #一意的 に解く事ができ その #解 ψ(t) に対し ψ(t) ＝ T_t ψ_0 とおく時 T_t は #ヒルベルト空間 ℋ の 1径数 #ユニタリ変換群 に #拡張 される.』

＜#解析力学の参考書＞ 「コマの幾何学 ― 可積分系講義」(共立出版2000Audin) kyoritsu-pub.co.jp/book/b10005638… 『本書は #コマ の #運動方程式 を通じて #有限次元可積分系 の #理論， 特にその #幾何学的 側面を紹介するという きわめて特色のある本である。』

＜#解析力学の参考書＞ 「力学」(2001大貫･吉田) 前書きより: 『5章では #運動方程式 が #解ける ための条件，つまり #積分可能性 の #判定条件 が #歴史的発展 も含め 詳しく議論される。 #近年 に #発展 した #力学系 の #複素解析 的な #アプローチ に 特に多くのページが割かれ…』

＜#解析力学の参考書＞ 「力学」(岩波書店2001大貫･吉田) 前書きより: 『第Ⅰ部の基礎的な記述に対して， 第Ⅱ部においては， 「#解 を求めることに #重点 をおいた， #力学 そのものの #現代的 な #発展」 を論ずることにした。 #運動方程式 が #解ける とは どのようなことであるか…』

学生の頃を思い出して、運動方程式の数値解を計算するプログラムをVBAで作った。 速度に比例する抵抗力を受けて落下する球をモデルに、その速度の時間変化を計算する。このモデルは解析解が分かっているので、そのグラフに数値解のグラフを近づけたい。 #運動方程式 #数値解析 pic.twitter.com/Bsn31u0x39

#解析力学_Lagrange形式編 72 Q. #ニュートン力学 の #運動方程式 と比べた場合 #ラグランジュ形式 の利点は？ A. 座標変換が簡単. #ニュートンの運動方程式 は ベクトルの方程式で， デカルト座標以外では 煩雑な座標変換が必要. 一方，ラグランジュ形式では #ラグランジアン はスカラー.

＜#量子論の参考書＞ 「相対論とゲージ場の古典論を噛み砕く」 (2019松尾) 書評より: 『#変分原理 で現れる #リー微分 の簡潔な解説. #解析力学 の #運動方程式 が 任意の #座標系 で同じ形になる事. 勾配・発散・回転の表現が 座標系に大きく依存する一方 #外微分 が座標系に依らない事.』

#解析力学_Lagrange形式編 64 Q. ラグランジュの #運動方程式 の両辺を 物理的に解釈 A. ①#ニュートンの運動方程式: F＝(d/dt)(【mv】) 力＝【運動量】の微分 ②#ラグランジュの運動方程式: ①を #一般化座標 に拡張. ∂L/∂q＝(d/dt)(【∂L / ∂q̇】) 一般化力＝【#一般化運動量】の微分

＜#素粒子と原子核の参考書＞ 「Dブレーン」(東大出版2006橋本) p17より引用: 『#現代物理学 を記述する #場の理論 と呼ばれる #数学 の言葉を借りると， #物理学 における #ソリトン とは 「場の理論の #運動方程式 の #解 であり しかも #エネルギー が #局在化 しているもの」 である.』

＜#解析力学の参考書＞ 「重点解説 ハミルトン力学系」(2016柴山) 前書きより: 『1章では #ラグランジュ形式， #ホロノーム拘束系 の #運動方程式 の導出. #多様体 上の #ラグランジュ系 の例として #測地線 の #方程式 を挙げる. 2章以降では ほとんど #ハミルトン形式 で 議論を進める.』

運動方程式は大丈夫ですか(東京海洋大学海洋資源環境学部等物理2023)？しっかり学習しよう。 東京海洋大学対策はプロ家庭教師のKashiharaにおまかせくださいませ💁！ #運動方程式 #物理 #東京海洋大学 #東京海洋大学対策 #塾 #予備校 #プロ家庭教師

#解析力学_Lagrange形式編 9 Q. #解析力学 において #最小作用の原理 とは A. principle of least action ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80… ・「力学系の運動(時間発展)は #作用汎関数 Sを最小にするような軌道に沿い 実現される.」 ・「Sの停留点を計算すれば 系の #運動方程式 が得られる.」

＜#量子論の参考書＞ 「相対論とゲージ場の古典論を噛み砕く」 (2019松尾) 書評より: 『#変分原理 で現れる #リー微分 の簡潔な解説. #解析力学 の #運動方程式 が 任意の #座標系 で同じ形になる事. 勾配・発散・回転の表現が 座標系に大きく依存する一方 #外微分 が座標系に依らない事.』

＜#解析力学の参考書＞ 「ロボットと解析力学」(2018有本) 前書きより: 『#ロボット の運動表現の #言語 は #オイラー-#ラグランジュ の #運動方程式 に 依拠するのが基本になる. 運動方程式に 何らかの #制御入力 を 働かせる方式を通し 企図したロボット作業が 遂行できるか考えてゆく.』

＜#解析力学の参考書＞ 「ロボットと解析力学」(2018有本) 前書きより 『(既存書は)多自由度の剛体系を 正面から取り扱う気配が無く， オイラーラグランジュの #運動方程式 の意義を #工学 分野に広げ 深めようとする観点や指向， 運動をいかにうまく #制御 するか という観点が無かった.』

#大学の力学_惑星の運動編 106 ここまでで， ベクトル形式の #運動方程式 を立て #微分方程式 を「#ベクトル のまま」解き #保存量 ↑e を導出し 惑星の #楕円軌道(#ケプラーの第１法則) を証明できた. 途中で使った #角運動量保存 は #ケプラーの第２法則(#面積速度一定)と 等価である.

#大学の力学_惑星の運動編 105 惑星の #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ (d/dt)↑e(t) ＝ 0 ↓ ↓ 両辺を積分する ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM － ↑r/r ↓ ↓ 両辺と ↑r の #内積 をとる ↓ #楕円軌道 (#ケプラーの第１法則)

#大学の力学_惑星の運動編 89 #ケプラーの第１法則 の 証明の流れを復習: #運動方程式 を立てる ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t)={(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM－↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる←★今ここ！ ↓ ↓ 両辺積分 ↓ #楕円軌道 を導出

＜#量子論の参考書＞ 「場の量子論の拡がり 現代からみた種々相」(サイエンス社2006) p13より引用: 『#古典電磁気学 を #量子化 するには #電磁場 を #固有振動 で #展開 する。 #展開係数 に対する #運動方程式 は #単振動 のものであり， 結局，電磁場は #調和振動子 の #集団 となる。』

#大学の力学_惑星の運動編 85 ↑r/r という基本的な関数形を 時間微分するだけで， 惑星の #運動方程式 の右辺 つまり #重力 の項の #原始関数 が求まる。 そして，その右辺に合わせて 運動方程式の左辺も 「両辺で変形がそろうように ×(↑r×↑ṙ)しておこう」 という発想が生まれる。

#大学の力学_惑星の運動編 83 #惑星 の #運動方程式 ↑r̈=－(GM/r^3)↑r 変形し (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)－GM(↑r/r)}=↑0 ↓ (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)/GM－↑r/r}=↑0 { } 内を ↑e=↑ṙ×(↑r×↑ṙ)/GM－↑r/r とおけば (d/dt)↑e=↑0 ↑eは #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル.

#大学の力学_惑星の運動編 82 #惑星 の #運動方程式 ↑r̈=－(GM/r^3)↑r 両辺に×(↑r×↑ṙ)し ↑r̈×(↑r×↑ṙ) = －(GM/r^3){↑r×(↑r×↑ṙ)} 変形 (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)} = GM(d/dt)(↑r/r) 整理 (d/dt){ ↑ṙ×(↑r×↑ṙ)－GM(↑r/r) } = ↑0 #保存量 が現れた！

#大学の力学_惑星の運動編 81 ここまでまとめ: #惑星 の #運動方程式 ↑r̈ = －( GM / r^3 ) ↑r 両辺に ×(↑r×↑ṙ) すると 左辺 = ↑r̈ × (↑r×↑ṙ) = (d/dt){ ↑ṙ × (↑r×↑ṙ ) } 右辺 = －(GM/r^3){ ↑r × (↑r × ↑ṙ) } = GM (d/dt)( ↑r / r ) 両辺を積分できる！

#大学の力学_惑星の運動編 80 もともと #惑星 の #運動方程式 の右辺に現れる －(1/r^3) ↑r およびそれを変形した －(1/r^3){ ↑r × (↑r × ↑ṙ) } の #原始関数 を得たいのだった. 前ツイで (d/dt)( ↑r / r ) = －(1/r^3){ ↑r × (↑r × ↑ṙ) } を得たので，原始関数は ↑r / r.

#大学の力学_惑星の運動編 77 #ベクトル三重積 ↑b (↑a･↑c)－↑c (↑a･↑b) ① = ↑a×(↑b×↑c) #惑星 の #運動方程式 の右辺 (1/r^2){ ↑ṙ r － ↑r ṙ } = (1/r^3){ ↑ṙ r･r － ↑r ṙ･r } ② ①で ↑b=↑ṙ ↑c=↑r ↑a=↑r とおくと ② = (1/r^3){ ↑r×(↑ṙ×↑r) }

＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」 (岩波書店2005砂田) p8より: 『(#量子力学的)#運動方程式 √(-1) dψ / dt ＝ Ĥ_ħ ψ は常に #一意的 に解く事ができ その #解 ψ(t) に対し ψ(t) ＝ T_t ψ_0 とおく時 T_t は #ヒルベルト空間 ℋ の 1径数 #ユニタリ変換群 に #拡張 される.』

＜#解析力学の参考書＞ 「コマの幾何学 ― 可積分系講義」(共立出版2000Audin) kyoritsu-pub.co.jp/book/b10005638… 『本書は #コマ の #運動方程式 を通じて #有限次元可積分系 の #理論， 特にその #幾何学的 側面を紹介するという きわめて特色のある本である。』

＜#解析力学の参考書＞ 「力学」(2001大貫･吉田) 前書きより: 『5章では #運動方程式 が #解ける ための条件，つまり #積分可能性 の #判定条件 が #歴史的発展 も含め 詳しく議論される。 #近年 に #発展 した #力学系 の #複素解析 的な #アプローチ に 特に多くのページが割かれ…』

#大学の力学_惑星の運動編 62 いま調べたいこと: 惑星の #運動方程式 の右辺に現れる －( 1 / r^3 ) ↑r およびそれを変形した －( 1 / r^3 ) ↑r × (↑r×↑ṙ) の #原始関数 を得たい. そのために， この式は「r の分数式」を含むので まずは小手調べで 1/r の時間微分を調べてみよう.

#大学の力学_惑星の運動編 61 #惑星 の #運動方程式 m ↑r̈(t) ＝ －( GMm / r^3 ) ↑r の両辺を #積分 して解くにあたり， 左辺の ↑r̈(t) は 「×(↑r×↑ṙ)」をかければ原始関数が分かる。 右辺も同じく 「×(↑r×↑ṙ)」をかければ積分可能になるだろうか？ 試してみよう。

＜#解析力学の参考書＞ 「力学」(岩波書店2001大貫･吉田) 前書きより: 『第Ⅰ部の基礎的な記述に対して， 第Ⅱ部においては， 「#解 を求めることに #重点 をおいた， #力学 そのものの #現代的 な #発展」 を論ずることにした。 #運動方程式 が #解ける とは どのようなことであるか…』

#大学の力学_惑星の運動編 58 ベクトル形式の #運動方程式 を 上手に変形するため， 下記の式の時間微分を考えよう. ↑ṙ × (↑r×↑ṙ) #積の微分 公式より (d/dt) { ↑ṙ × (↑r×↑ṙ ) } = { (d/dt)( ↑ṙ ) } × (↑r×↑ṙ) + ↑ṙ × { (d/dt)(↑r×↑ṙ) } 計算を進めると…?

#大学の力学_惑星の運動編 57 互いに #平行 な2本の #ベクトル に対し その #外積 は ↑0 である。 ↑a // ↑b ならば ↑a × ↑b ＝ ↑0 さらに，↑b に ↑a を代入し ↑a × ↑a ＝ ↑0 も言える。 ∵ ↑a // ↑a これらの性質を使い， ベクトル形式の #運動方程式 を変形しよう。

#大学の力学_惑星の運動編 55 上手な式変形をするために， ベクトルの #外積 の性質を調べよう。 #惑星 の #運動方程式 m ↑r̈(t) ＝ －( GMm / r^3 ) ↑r が成り立つ時， 両辺を比較すると 左辺の ↑r̈ と 右辺の ↑r とは常に #平行 である。 ↑r̈ // ↑r この時 ↑r̈ × ↑r ＝ ↑0

#大学の力学_惑星の運動編 54 #重力 だけが働く場合の #運動方程式 m ↑r̈(t) =( G mM / r^2 )( －↑r/r ) =－( G mM / r^3 ) ↑r ↓ ↑r̈(t)=－( GM / r^3 ) ↑r 両辺に，ある上手いベクトルを #外積 でかけると 上手な式変形ができ 二階微分を一階微分にできる。 そのベクトルとは…?

#大学の力学_惑星の運動編 53 #運動方程式 m ↑r̈(t) ＝ ↑F(t) の右辺で， #惑星 に働く力は，#重力 ↑F ＝ ( G mM / r^2 )( －↑r / r ) Mは #太陽 の質量 Gは #万有引力定数。 ( －↑r / r ) は， 地球から太陽の方向を向く #単位ベクトル。 つまり重力は ↑r と反対方向の #引力。

#大学の力学_惑星の運動編 52 #LRLベクトル という #保存量 を知り， 証明の方針が立ったので， ここからは実際に #ケプラーの第１法則 を示してゆこう。 惑星の位置を ↑r(t) 惑星の質量を m 惑星に働く力を ↑F(t) とすると， ベクトル形式の #運動方程式 は… m ↑r̈(t) ＝ ↑F(t)

#大学の力学_惑星の運動編 49 #ケプラーの第１法則 と保存量の関係: #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) = { (↑r)'×( ↑r×(↑r)' ) }/GM－↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる. ↓ ↓ 両辺を積分 ↓ #楕円軌道 が導出される！