- すべて
- 画像・動画
並べ替え:新着順
#シュレディンガー方程式の導出 45 #ラプラシアン ∆ = (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 = (∂/∂r)^2+(1 / r^2)(∂/∂θ)^2+(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2+(2 / r)(∂/∂r)+(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) の導出方法は, #3次元・極座標のラプラシアン導出 というタグで学ぼう!
#シュレディンガー方程式の導出 44 #シュレディンガー方程式 {-(ℏ^2 / 2m)∆-e^2 / 4πε_0 r}X=EX に ∆=(∂/∂r)^2+(1 / r^2)(∂/∂θ)^2+(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2+(2 / r)(∂/∂r)+(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) を代入すれば #極座標系 ( r,θ,φ ) の #微分方程式 になる!!
#シュレディンガー方程式の導出 43 直交座標系の #ラプラシアン ∆ =(∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 は, 3次元 #極座標 系(球面座標系)に書き換えると =(∂/∂r)^2+(1 / r^2)(∂/∂θ)^2+(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2+(2 / r)(∂/∂r)+(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) である…!
#シュレディンガー方程式の導出 42 { -(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 ] -e^2 / 4πε_0 r } X = E X ↑ この左辺は ① x,y,zで書かれた #直交座標 と ② r で書かれた #極座標 が混在しているため このままでは #微分方程式 を解けない. ①②どちらに統一するか?
#シュレディンガー方程式の導出 41 3次元の #シュレディンガー方程式 {-(ℏ^2 / 2m)∆ + U } X = E X に, #水素原子 の #原子核 が生む #ポテンシャル U(r) = -e^2 / 4πε_0 r を代入すると… { -(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 ] -e^2 / 4πε_0 r } X = E X
#シュレディンガー方程式の導出 40 3次元の #シュレディンガー方程式 を #水素原子 の #電子 に適用する. 水素原子の #原子核 から電子までの距離をr #電荷素量 をeとおくと… 電子が受ける #クーロン力 は F(r) = e^2 / 4πε_0 r^2 なる #引力. #ポテンシャル は U(r) = -e^2 / 4πε_0 r
#シュレディンガー方程式の導出 39 時間非依存の #シュレディンガー方程式: ▶1次元 {-(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 + U(x) } X(x) = E X(x) ▶3次元 { -(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 ] +U } X = E X ∴ {-(ℏ^2 / 2m)∆ + U } X = E X #ラプラシアン が現れる。
#シュレディンガー方程式の導出 37 #量子力学 の #運動量演算子 p を 1次元と3次元で考えてみよう。 ▶1次元では p_x = - i ℏ (d/dx) ▶3次元では p = p_x + p_y + p_z = - i ℏ ( ∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z ) ※位置変数が複数個になったので 微分記号はdではなく∂となる。
#シュレディンガー方程式の導出 35 ▶#電子 の運動に関する 時間非依存の #シュレディンガー方程式: {-(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 + U(x) } X(x) = E X(x) ▶#運動量 演算子: p = ±i ℏ (d/dx) ここからは,上記の式を #水素原子 の電子に当てはめ 具体的な #微分方程式 を作ってみましょう。
#シュレディンガー方程式の導出 34 21世紀の今 #前期量子論 を初学者が学ぶ意味は 薄れたと言われます. 最近の #量子論 の本は #シュレディンガー方程式 を あえて解かない物もあります. が,#量子力学 はともかく #量子化学 は シュレディンガー方程式を 解かないわけにはいきませんね.
#シュレディンガー方程式の導出 32 #相対論 より E=√(m^2 c^4+p^2 c^2)① 「#光子 はm=0だから①はE=pcとなり そこから p=h/λ② が言える」 「次はm≠0である #電子 にも ②を同様に当てはめよう」 ②はm=0の前提で導いたのに m≠0の時も②を使うのは変だ! ↑ 初学者のハマりポイント
#シュレディンガー方程式の導出 31 #量子化学 の学び始めの #前期量子論 の部分では, #特殊相対論 の結果を使う. その際,前提知識を深堀りはせず 理由も良く分からないまま いきなり #相対論 の結果式 E=cp を使う. そして #シュレディンガー方程式 を導き #演算子対応 を受け入れる…
#シュレディンガー方程式の導出 30 ちゃんとやると 下記の順序になる。 #マクスウェル方程式 の #電磁気学 および #ガリレイ変換 下での破綻 ↓ #特殊相対論 での #テンソル 計算 ↓ #光子 の #相対論的エネルギー E=cp ↓ #シュレディンガー方程式 導出 ↓ それをもとにした #量子化学
#シュレディンガー方程式の導出 29 #大学化学 の土台は #量子化学 で 真っ先に習うのが #シュレディンガー方程式。 しかし,その導出時に 初手で必要になるのが #特殊相対性理論 の E =√( m^2・c^4 + p^2・c^2 ) = pc という式。 #相対論 未修なのに 結果だけ先取りするのである…!
#シュレディンガー方程式の導出 28 ここまでで 古典論の #波動方程式 から 時間非依存の #シュレディンガー方程式 を導出し #運動量演算子 p=±iℏ(d/dx) を得た. 参考文献: 例えば東京化学同人 「量子化学・基本の考え方16章」6章 §6.3 電子の波動方程式 ~ §6.5 ハミルトン演算子 を参照.
#シュレディンガー方程式の導出 27 #電子 の運動に関する 時間非依存の #シュレディンガー方程式 {-(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2+U(x) } X = E X ① ここで,古典力学での 全エネルギーの定義は p^2 / 2m + U(x) = E ② ①左辺と ②左辺を比べると -(ℏ^2)(d/dx)^2 = p^2 ∴ p = ±i ℏ (d/dx)
#シュレディンガー方程式の導出 26 #電子 のみたす #波動方程式 -(ℏ^2 / 2m)X_xx + U X = E X ↓ {-(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 + U(x) } X = E X これを,1次元の 「時間に依存しない #シュレディンガー方程式」 と呼ぶ。 左辺の { } 内は 右辺の #エネルギー Eに対応すると考えられる。
#シュレディンガー方程式の導出 25 #ディラック定数(#換算プランク定数) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87… ℏ=h/2π を定義すると… #電子 のみたす #波動方程式 は X_xx=-4π^2 (2m/h^2)(E-U) X ↓ X_xx=-(2m/ℏ^2)(E-U) X ↓ -(ℏ^2 / 2m)X_xx = (E-U) X ↓ -(ℏ^2 / 2m)X_xx+UX = E X
#シュレディンガー方程式の導出 24 1次元で運動する #電子 に #波長 λを仮定すると E=p^2 / 2m + Uかつ p=h/λ より E=h^2 / 2mλ^2 + U ∴ 1/λ^2=(2m/h^2)(E-U)なる λとEの関係式を得て これを時間非依存の #波動方程式 に代入すると X_xx =-4π^2 (1/λ^2) X =-4π^2 (2m/h^2)(E-U) X
#シュレディンガー方程式の導出 23 #古典力学 の #波動方程式(時間依存) u_xx=(1/v^2)u_tt に正弦波解 u(x,t)=X(x) A cosωt を代入し X_xx=-(ω^2 / v^2) X ★ なる時間非依存の式を得る. 波の変数の基本関係式より ω=2πf v=fλ ∴ ω^2 / v^2=4π^2 / λ^2 よって★は X_xx=-(4π^2 / λ^2) X
#シュレディンガー方程式の導出 18 ①#特殊相対論 より #光子 の #相対論的エネルギー E=pc ②#光量子仮説 より E=hν ③: ①②より p=hν/c ④波の基本関係式 c=νλ ⑤: ③④より 光子の #運動量 p を #波長 で表示した式 p=h/λ を得る。 #電磁波 の波長が長いと,光子の運動量が小さい。
#シュレディンガー方程式の導出 16 ① E=pc を導出するには #特殊相対論 が必要。 ② E=hν を導出するには #光量子仮説 が必要。 #光子・歴史的発展 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%89… この①と②を合体させた式が p = hν / c である。
#シュレディンガー方程式の導出 14 #光 は… ①マクロなスケールでは波(#電磁波) ②ミクロなスケールでは粒子(#光子,#光量子) ②の時,光子は #質量 m=0 であるにもかかわらず #運動量 p が非ゼロの値をとる。 この時, 光子の持つ #相対論的エネルギー E =√(m^2 c^4+p^2 c^2) =pc
#シュレディンガー方程式の導出 13 #特殊相対論 における #相対論的エネルギー が E=√(m^2 c^4+p^2 c^2) である事の導出は例えば 培風館「相対性理論 入門講義」(風間) 5章「相対論的不変性と共変性」 §5.8「重要なローレンツ・スカラーとローレンツ・ベクトルの例」の式(5.108)を参照。
#シュレディンガー方程式の導出 12 まず #特殊相対論 を 既習・既知の前提として認めることにする。 #特殊相対性理論 における #相対論的エネルギー が E = √( m^2・c^4 + p^2・c^2 ) である事を示せ。 運動する物体の相対論的エネルギー ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%99… .
#シュレディンガー方程式の導出 11 前ツイまでで 古典論の #波動方程式 u_xx = (1/c^2) u_tt の導出方法や, 偏微分方程式としてのタイプも確認できた。 この古典論の波動方程式をもとに #量子化学 の主役である 量子論の波動方程式(#シュレディンガー方程式)を導出しよう。
#シュレディンガー方程式の導出 10 1次元の #波動方程式 を変形すると 振幅u(x,t)に対し u_tt / u_xx = c^2 ★ ★式の両辺を それぞれ #次元解析 すると どちらの辺も [m^2 / s^2] となる。 この事から★式を間違いなく記憶でき, 波動方程式の u_tt と u_xx の項を 混同しなくて済む。
#シュレディンガー方程式の導出 9 古典論の #波動方程式 は… ▶1次元では u_xx = (1/c^2) u_tt cは #位相速度[m/s]。 ▶3次元では ∆u (=u_xx+u_yy+u_zz) = (1 / c^2) u_tt ∆は #ラプラシアン。
#シュレディンガー方程式の導出 6 参考文献: 量子論的な波動方程式 (#シュレディンガー方程式) を学ぶための前段階として, まず先に 古典論の #波動方程式 を 導出させる #量子化学 の教科書としては たとえば東京化学同人 「量子化学 基本の考え方16章」 の6章などが挙げられる。
#シュレディンガー方程式の導出 5 問題: 水平にx軸を取り 両側の壁に水平に固定された弦がある時, 弦をつまんで持ち上げ手を離すと 弦全体はどんな運動をするか? 位置xにおける時刻tの弦の振幅をu(x,t)とし u_xx = (1 / v^2) u_tt なるuの #微分方程式 を導出せよ(下添え字は偏微分)