#群論の知識 #リー群 (Lie group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… ・ #群 構造を持つ #可微分多様体 で， その群構造と可微分構造とが #両立 するもののこと. ・群の演算操作が，多様体としてのG上の #写像 として #可微分 であるもの. ・ #複素リー群 の例: #特殊線形群 SL( 2, ℂ )

#群論の知識 #離散群 (discrete group) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A2… #位相群 Gの #部分群 Hであって， 『「Hの #開被覆 で 任意の #開部分集合 が Hの元をちょうど1つ含むようなもの」が存在するもの』 のことを，位相群 G の #離散部分群(discrete subgroup)という.

#群論の知識 #コンパクト群 (compact group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3… ・コンパクト位相群 (compact topological group). ・ #位相 が #コンパクト であるような #位相群 のこと. ・離散位相をいれた #有限群 の 自然な一般化である.

#群論の知識 #位相群 (topological group) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D… ・ #連続群 との表記も. ・ #位相 の定められた #群. #位相空間 に群演算(#二項演算)を定めたもの ・位相群では「全ての群演算が与えられた位相に関し #連続」という意味で「代数構造と位相構造が両立」する.

#群論の知識 #群 の #拡大 (group extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… 特定の #正規部分群 と #剰余群 を使って 群を記述すること. 1 → G_1 → G_2 → G_3 → 1 という #短完全列 がある場合， 「G_2はG_3によるG_1の拡大である」または 「G_2はG_1によるG_3の拡大である」という.

#群論の知識 フェイト・トンプソンの定理 (#奇数位数定理) 解決までの歴史 en.wikipedia.org/wiki/Feit%E2%8… 1911年，バーンサイド予想 「非可換な有限単純群の位数は偶数?」 1957年，鈴木 通夫(みちお)による部分的な解決. 1962～1963年，FeitとThompsonによって解決. 最終論文は255㌻

#群論の知識 #群論 のファイト‐トンプソンの定理(#奇数位数定理) note.com/morikita/n/nf4… 数百ページの長大な証明. 数十ページにわたる背理法 プロの数学者でも検証困難 ↓ 2012年，この証明が ツールで自動化(形式化)された. かかった労力は，15人がかりで7年.

#群論の知識 Feit–Thompson theorem フェイト・トンプソンの定理 en.wikipedia.org/wiki/Feit%E2%8… ・odd order theorem (#奇数位数定理) ・every finite group of odd order is solvable. 全ての奇数 #位数 の #有限群 は #可解 である. ・1962年と1963年にFeitとThompsonの共著で発表

#群論の知識 フェイト・トンプソンの定理 (Feit–Thompson theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF… 呼び名: ・「ファイト・トンプソンの定理」とも. ・別名「#奇数位数定理」 内容: ・全ての奇数 #位数 の #有限群 は #可解群. ・有限群が #単純群 ならば，それは素数位数の #巡回群 か偶数位数.

#群論の知識 「#位数 59以下の #群 は #可解 である。」 ↑ これを確かめるために， 位数が1から59までの 全ての場合について どうして可解と言えるのか 一覧表を作って網羅している記事がある。 「群が可解でないための位数の条件を炙り出す」 peng225.hatenablog.com/entry/2017/09/… .

#群論の知識 #バーンサイドの定理 (Burnside theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90… ・「p, q は素数， a, b は 0 以上の整数として， #位数 が (p^a)･(q^b) である #有限群 G は #可解群 である」 ・1904年に #バーンサイド が 有限群の #表現論 を使って証明.

#群論の知識 有限単純群の分類について ・1983年以前の本: 「まだ完了してない」と記載されている。 ・2004年以前の本: 「1982年頃に完了した」と誤記載されている。 (その後2004年に再宣言された) 古い本を読む際には気を付けよう！

#群論の知識 List of finite simple groups (有限単純群のリスト) en.wikipedia.org/wiki/List_of_f… List of small groups (小さな群のリスト) en.wikipedia.org/wiki/List_of_s… .

#群論の知識 有限単純群の分類 classification of the finite simple groups ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… 全ての有限単純群を 大まかなクラスへ分類する定理。 1983に分類完了宣言 →漏れ発見 →2004年に再度，分類完了宣言 1955～2004年に 100以上の著者が 計1万5000ページ以上の論文で証明

#群論の知識 #マシュケの定理 (Maschke's theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E… ・ #有限群 の #表現 の 既約表現への分解に関する定理. ・有限群Gの ある標数0の #体 上の 有限次元表現 (V,ρ) に対し， 任意のG-不変部分空間Uは G-不変な直和補因子Wを持つ. つまり表現 (V,ρ) は #完全可約.

#群論の知識 有限群の表現 / #マシュケの定理 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%A8… #有限群 G の #表現 は 半単純(#完全可約)な性質を持ち， 任意の G-表現 W の部分表現 V が G-不変な補完表現(compliment)を持つ.

#群論の知識 #指標表 (character table) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87… ・ある #群 の全ての #既約表現 の #指標 を 表にまとめたもの. ・ #点群 の指標表は， 化学，結晶学，分光学などにおいて有用.

#群論の知識 #指標群 (character group) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87… ・ #指標 全体の集合がなす #群 が指標群. ・ #有限アーベル群 G の指標全体の集合は やはり有限アーベル群で，指標群である.

#群論の知識 (#群論 での) #指標 (character) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87… ①#群 Gから複素数体の乗法群への #群準同型 を指す. 群G上の乗法的指標，Gの #指標群. ②#ベクトル空間 上の 群Gの #表現 の #トレース を指す.

#群論の知識 #指標理論 (character theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87… ・群の #表現 の #指標(character): #群 の各元に 対応する #行列 の #トレース を対応させる #写像. 指標は，表現の 本質的な情報を凝縮された形で持つ. ・指標理論は #有限単純群 の分類において本質的な道具.

#群論の知識 #類関数(class function) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A1%9E… ・中心函数(central function)，中心的な関数とも ・ #共役元 どうしの間で(#共役類 上で) 値が不変となる関数. #群 G の任意の元s,tに対し f( s^{-1} t s)＝f(t) ・複素数値の類函数は #コンパクト群 の #表現論 で重要

#群論の知識 「#群 の #表現論 といっても #ジョルダン標準形 の話と ある意味で同じである。 本書第3章の趣旨は， ジョルダン標準形の理論は K[T] #加群 の分類に等しい という事であった。 すなわちそれは， #モノイド N_0 の表現論なのである。」 (朝倉書店「加群十話」より)

#群論の知識 「#表現論 は， Gが #無限群 のときは #リー群 や代数群の連続表現を除いて， ほとんど手がついていないほど難しい。 また #有限群 の場合でも， #体 Kの #標数 が0でないときは なかなかの困難を見せており…」 (朝倉書店「加群十話」1988年)

#群論の知識 #大直交性定理 (Schur orthogonality relations) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7… #群 G の #既約表現 α の #ユニタリ表現 行列 D^(α) の 行列要素 D^(α)_ij (G) について その間に成り立つ直交関係のこと. #シューアの補題 から導かれる.

#群論の知識 #既約表現 (きやくひょうげん) irreducible representation; irrep ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A2… #群 などの表現論において #表現 ρ:G→GL(V)が #既約 とは 自明でない部分表現を持たないことをいう. 真の非自明な不変部分空間を持つ表現ρは #可約(reducible)という.

#群論の知識 群の #表現 / #既約表現 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… Gを #群，Tを #線形変換 とし { T(g) | g∈G } で不変な #表現空間 V ≠ {0} の #部分空間 が Vと {0} の2つ以外に存在しないとき， 表現 (V, T) は #既約 であるという. 既約でない表現を #可約 という.

#群論の知識 #忠実 表現 (faithful representation) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BF%A0… ・ #群 G の異なる元 g が 異なる #線形写像 ρ(g) によって #表現 される 線型表現のこと. ・ #群準同型 が #単射 であるということ.

#群論の知識 群の #表現 (group representation) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… ・抽象的な #群 Gの元gに対し 具体的な #線形空間 Vの #正則 な #線形変換 としての実現を与える #準同型写像 π: G→GL(V) のこと. ・群Gから 線形空間V上の正則な線形変換のつくる群への 準同型写像.

#群論の知識 #表現論 (representation theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%A8… 「#ベクトル空間 の線形変換」として #代数的構造 を #表現 することで， 代数構造上の #加群 を研究する分野. 抽象的な代数的構造の元と演算を #行列 と行列の和や行列の積で記述し， より具体的にする.

#群論の知識 Q. 数学において一般的に #表現 とは A. 表現 (representation) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%A8… 「ある体系に対して それを類型的に書き表すことのできる 数理モデルを構成すること」 またはそのモデルそのもの. 例: ・ #線形写像 の #行列 による表現 ・ #群 の #置換 による表現

#群論の知識 #作用 を持つ #群(group with operators) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%9C… 名称: ・集合Ωの作用を持つ群 ・Ω-群 ・ #作用域 Ωを持つ群 Ω: 作用域(operator domain) 作用域Ωの元: G上の #作用素(operator)， Gの #相似変換(homotheties) ※「群作用を持つ集合」とは別物なので注意.

#群論の知識 Q. 群が #完全可約 であるとは. A. ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84… #群 G が 有限個の #単純群 の #直積 に 分解可能である場合， Gは 完全可約(completely reducible)または #半単純(semisimple)であるという.

#群論の知識 #有限生成アーベル群 の基本定理 (fundamental theorem of finitely generated abelian groups) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… 2通りの表記の仕方があり，互いに同値である. ①#準素分解 ②#不変因子分解

#群論の知識 #有限生成アーベル群 (finitely generated abelian group) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… ・ #有限生成 な #アーベル群. ・有限生成アーベル群 G の 任意の元 x は， #生成元 たちの 整数係数 線形結合として書くことができる.

#群論の知識 #有限アーベル群の構造定理 (structure theorem of finite abelian group) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… ・有限アーベル群の基本定理とも. ・「任意の #有限アーベル群 は，#巡回群 の #直積 に #同型」. ・ #クロネッカー が1870年に証明.

#群論の知識 #有限アーベル群 (finite abelian group) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… #有限群 かつ #アーベル群. #有限生成アーベル群 の特別な場合. さまざまな応用がある: ・調和解析 ・合同算術 ・ #ガロア理論 ・情報理論

#群論の知識 自由アーベル群 (free abelian group) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA… ・ #基底 をもった #アーベル群 のこと. ・ #ベクトル空間 とよく似ている.

#群論の知識 #自由群 (free group) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA… #公理 から来る自明なもの以外に， 元の間の等式がない #群 のこと.

#群論の知識 #群 の #表示 (presentation of group) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… 群を ①#生成元 と ②生成元の間に成り立つ関係 によって特定すること. 一般に群は必ず表示を持つが 一意的ではない. ①の生成元のみがあり ②の関係が定義されない場合は， #自由群 という.